嘿，我来一步步拆解你问的这些问题，从抽象定义到具体的$X=G/\Gamma$场景，再到背后的直觉，尽量给你讲明白：

一、拓扑群作用下的周期性（一般抽象定义） #

对于拓扑群$H$作用在拓扑空间$X$上，关于轨道的周期性，其实有两种常用的等价定义（根据研究语境略有侧重）：

• 有限轨道版周期轨道：我们称轨道$H \cdot x$（$x \in X$）是周期轨道，当且仅当这个轨道是有限集合。换句话说，存在有限个点$x_1, x_2, ..., x_n \in X$，使得$H \cdot x = {x_1, x_2, ..., x_n}$，这意味着对每个$x_i$，都存在非单位元的$h \in H$，使得$h \cdot x_i = x_i$（或者说$h^k \cdot x_i = x_i$，$k$是某个正整数）。
• 拓扑动力系统版周期轨道：如果从拓扑回复性的角度，周期轨道是更强的“回复”情况——轨道$H \cdot x$是紧的，并且存在非单位元$h \in H$，使得$h \cdot x = x$（即$x$是周期点），同时整个轨道的每个点都满足这个性质。从群论的角度，这等价于点$x$的稳定子群$H_x = {h \in H \mid h \cdot x = x}$在$H$中具有有限指数（因为$H/H_x$和轨道$H \cdot x$拓扑同胚，有限指数的子群对应的商空间是有限集合）。

二、针对$X=G/\Gamma$场景：轨道$Hg\Gamma$的周期性 #

当$X=G/\Gamma$（$G$是拓扑群，$\Gamma$是$G$的闭子群），$H$作用在$X$上通常是左作用：$h \cdot (g\Gamma) = (hg)\Gamma$，对应的轨道就是$Hg\Gamma$。这种情况下，轨道的周期性可以从双陪集的角度来理解：

• 首先，轨道$Hg\Gamma$是周期的，当且仅当存在某个非单位元$h \in H$，使得$hg\Gamma = g\Gamma$，也就是$g^{-1}hg \in \Gamma$。如果$\Gamma$是离散群，假设$g^{{-1}hg$的阶为$k$（即$(g}{-1}hg)^k = e$，$e$是群单位元），那么$h^k g\Gamma = g\Gamma$——这就意味着，对这个轨道上的任意点$h'g\Gamma$，$h^k \cdot (h'g\Gamma) = h'h^k g\Gamma = h'g (g^{-1}hk g)\Gamma = h'g\Gamma$，整个轨道在$h^k$的作用下保持不变，形成“循环”。
• 更抽象的等价条件：轨道$Hg\Gamma$是周期的，当且仅当$H$在这个轨道上的作用诱导的同态$H \to \text{Homeo}(Hg\Gamma)$的像为有限群。简单说就是，$H$作用在这个轨道上的“有效部分”是有限的，所以轨道必然是有限集合，符合一般定义里的周期轨道。

三、背后的直觉理解 #

其实周期性的直觉和我们日常的“循环”概念完全贴合：

• 对于一般的拓扑群作用，周期轨道就像一个有限闭环——你用群里的元素去“移动”轨道上的点，不管怎么移，都只会在有限个点之间循环，不会跑到轨道外面，也不会无限延伸。比如离散群$\mathbb{Z}$作用在圆$S^1$上，旋转1/3圈的轨道就是3个点，转3次就回到原点，这就是典型的周期轨道。
• 对于$X=G/\Gamma$的场景，比如$G=\mathbb{R}^{2$，$\Gamma=\mathbb{Z}}2$（平面上的整数格点），$H$是$\mathbb{Z}$生成的平移群（比如每次平移$(1/2, 1/2)$），那么轨道$Hg\Gamma$就是那些和$g\Gamma$相差整数倍$(1/2,1/2)$的陪集，平移4次就会回到原来的陪集，这就是周期轨道的直观体现——在格点商空间里，有限步操作后回到起点。
• 从拓扑视角看，周期轨道是紧且离散的（有限集合在拓扑空间里天然满足这个性质），而非周期轨道往往是稠密的（比如无理旋转的轨道在圆上稠密，会“填满”整个圆），这也是快速区分周期和非周期轨道的一个直观标志：周期轨道是“闭合且有限”的，非周期轨道则会“弥散”在空间中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者taylor