我完全懂这种纠结——我一直对数学课上教的欧几里得几何（不管是综合几何还是解析几何形式）真的对应我们对二维/三维平坦空间的直观视觉概念这件事，抱着一种半怀疑的态度。这里的“怀疑”不是说我真觉得它不对，而是我始终没完全想通为什么它一定成立，没法彻底说服自己。比如下面这些问题，我从来没找到过完全满意的答案：

• 为什么像{(x,y)∈ℝ²:y=mx+b}（其中m,b∈ℝ）这样的集合，就对应我们视觉里的“直线”？
• 为什么arccos( (v·u)/(|v||u|) )这类形式化定义的角度，能匹配我们对两个向量夹角的直观感受？
• 诸如此类的几何形式化与直觉对应问题，始终卡在我脑子里。

之前我偶然接触到一个有意思的思路：从我们对“广义尺子”的直觉出发，半严谨地推导出了拓扑空间中开集的定义——相当于从朴素直觉里还原出了严谨的数学结构。这让我一直在琢磨，能不能用类似的方式处理欧几里得几何：半形式化地证明ℝⁿ的基础几何结构，确实抓住了我们对平坦空间的核心直觉，让我们脑子里对ℝⁿ的想象完全站得住脚。

不过我不确定该从哪下手。当然，既然ℝⁿ是任何欧几里得几何公理体系的模型，只要能证明解析几何契合我们对平坦空间的直觉，那综合几何至少也能覆盖我们直觉里的一部分内容。但这个“验证”过程肯定比拓扑那个例子复杂得多，毕竟要对应直觉的维度太多了。我不指望能拿到一个完整的答案，但如果有人能给我指个思考的方向，帮我彻底说服自己，我会非常感激。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M. Sperling