求解满足√(x²+7x+21)为有理数的所有整数x

阿华AIGC实验室

2026-4-20

嘿，我来帮你搞定这个问题！首先得明确一个关键点：因为x是整数，要是√(x²+7x+21)是有理数，那根号里的表达式必须是一个完全平方数——毕竟有理数的平方如果是整数的话，那这个有理数只能是整数，对吧？所以我们可以先把问题转化为：找所有整数x，使得存在整数k，满足：

x² + 7x + 21 = k²

方法一：配方法+平方差分解

我们对左边的二次式做配方法处理，这样更容易找到整数解：
左边配方可得：
x² +7x + (49/4) + 21 - 49/4 = k²
整理后是：
(x + 7/2)² + 35/4 = k²
两边乘以4消去分母，得到：
(2x + 7)² + 35 = (2k)²
移项后就变成了平方差的形式：
(2k)² - (2x + 7)² = 35
分解平方差：
(2k - 2x - 7)(2k + 2x + 7) = 35

因为x和k都是整数，所以上面两个因式都是整数，而且它们的乘积是35（奇数），说明两个因式都是奇数，同时它们的和是4k（4的倍数，偶数），符合奇偶性要求。接下来我们列出35所有的整数因数对（包括正负），然后逐个计算x：

35的整数因数对有：(1,35)、(5,7)、(-1,-35)、(-5,-7)、(35,1)、(7,5)、(-35,-1)、(-7,-5)

设a = 2k - 2x -7，b = 2k + 2x +7，则a*b=35，且b - a = 4x +14，所以x = (b - a -14)/4，逐个计算：

因数对(1,35)：x=(35-1-14)/4=20/4=5
因数对(5,7)：x=(7-5-14)/4=(-12)/4=-3
因数对(-1,-35)：x=(-35 - (-1) -14)/4=(-48)/4=-12
因数对(-5,-7)：x=(-7 - (-5) -14)/4=(-16)/4=-4

剩下的因数对计算出来的x都是重复的，就不用再算了。

方法二：顺着你的思路继续

你之前分解得到(k-x)(k+x)=7(x+3)，因为7是质数，我们可以利用整除性来分析：

情况1：7整除(k-x)
设k-x=7m（m是整数），则k+x=(x+3)/m，因为k+x是整数，所以m整除(x+3)，设x+3=mn（n是整数），代入后推导可得n=(6-7m)/(2m-1)，因为n是整数，所以(2m-1)整除3，解得m=1时x=-4，m=0时x=-3。
情况2：7整除(k+x)
设k+x=7m（m是整数），同理推导可得n=(7m+6)/(2m+1)，因为n是整数，所以(2m+1)整除5，解得m=2时x=5，m=-3时x=-12。