嗨，我看了你对这个问题的解法，核心问题出在指数运算的优先级理解错了，这直接导致后续的推导全走偏啦！

先明确：$2^{2{24}}$的运算顺序是从右往左的，也就是先计算上层的指数$2^{{24}$，再算2的这个结果次方，即$2}{(2^{{24})}$，而不是你误以为的$(2}2)^{{24}$（更不是错误的$4}{12}$）。这个优先级错误是整个推导的关键漏洞。

接下来给你正确的解法，用数论里的欧拉定理会更清晰：

• 首先，计算欧拉函数$\varphi(9)$：因为9是3的平方，$\varphi(9)=9\times(1-\frac{1}{3})=6$
• 由于2和9互质，根据欧拉定理，$2^6 \equiv 1 \pmod{9}$，这意味着2的幂次除以9的余数是以6为周期循环的
• 现在我们只需要求出指数$2^{24}$除以6的余数，就能简化原问题：
  • 观察2的幂次除以6的规律：$2^1=2 \equiv2\pmod{6}$，$2^{2=4\equiv4\pmod{6}$，$2}3=8\equiv2\pmod{6}$，$2^{4=16\equiv4\pmod{6}$……可以发现，当指数是偶数时，$2}m\equiv4\pmod{6}$；指数是奇数时则为2。这里$24$是偶数，所以$2^{24}\equiv4\pmod{6}$
• 回到原问题，$2^{2{24}} \equiv2^{4\pmod{9}$，计算$2}4=16$，$16\div9$的余数是7，所以最终余数是7

再回头看你的推导，第一步把$2^{2{24}}$错误转化为$4^{12}$，这本身就不符合指数运算规则，后面的步骤自然也无法得到正确结果啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Samar Imam Zaidi