你提的这个问题抓得特别准，很多人看这类不等式证明时容易忽略这个细节！

先回顾一下背景：我们要证对任意实数$x_1,x_2,\ldots,x_n$，有
$$\frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots +\frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{n}$$

原证明里直接写了这个不等式等价于两边平方后的式子：
$$\left(\frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots +\frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2}\right)2 < n$$

但你质疑得没错：原不等式左边的和$S$不一定是正数，而平方操作的等价性是有前提的——函数$t \mapsto t^2$只有在$t \geq 0$时才是严格递增的，这时候$a < b$（$a,b\geq0$）才等价于$a^2 < b^2$；如果$S$是负数，那负数肯定小于正数$\sqrt{n}$，这时候根本不需要平方就能直接得出结论。

其实原证明的这个“$\iff$”写得不够严谨，完整的逻辑应该分两种情况讨论：

• 当$S \leq 0$时：因为$\sqrt{n} > 0$（$n$是正整数），所以$S < \sqrt{n}$直接成立，无需进一步证明；
• 当$S > 0$时：这时候$S$和$\sqrt{n}$都是正数，利用平方函数在非负区间的严格单调性，$S < \sqrt{n}$等价于$S^2 < n$，这时候再用原证明里的步骤：
  1. 用柯西不等式得到$S^2 \leq n\sum_{k=1}^n \frac{x_k^{2}{\left(1+\sum_{i=1}}k x_i^2\right)2}$；
  2. 利用不等式$\frac{x_k^{2}{\left(1+\sum_{i=1}}k x_i^2\right)2} < \frac{x_k^{2}{\left(1+\sum_{i=1}}{k-1} x_i^{2\right)\left(1+\sum_{i=1}}k x_i^{2\right)}$（分母放大，注意$1+\sum_{i=1}}{k-1}x_i^2 < 1+\sum_{i=1}^k x_i^2$）；
  3. 裂项相消得到$\sum_{k=1}^n \frac{x_k^{2}{\left(1+\sum_{i=1}}{k-1} x_i^{2\right)\left(1+\sum_{i=1}}k x_i^2\right)} = 1 - \frac{1}{1+\sum_{i=1}^n x_i^2} < 1$；
  4. 最终推出$S^2 < n$，从而$S < \sqrt{n}$。

原证明只是省略了“$S\leq0$时直接成立”的情况，直接写了等价性，但这个疏漏不影响结论的正确性，因为两种情况都能覆盖到。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math_learner