嘿，这个问题绝对是积分入门阶段的经典“坑”，好多刚接触换元法的同学都会栽在这里，我给你一步步捋明白～

你一开始的思路是直接把(\int \cos x dx = \sin x +C)里的(x)换成(ax+b)，得到(\int \cos(ax+b) dx = \sin(ax+b) +C)，但忽略了一个关键细节：积分里的微分(dx)并不是一成不变的，当你替换变量的时候，(dx)也要跟着做对应变换。

咱们用标准的换元法来推导一遍，你就能看出问题在哪了：

1. 设变量替换 ( u = ax + b )
2. 对(x)求导，得到 ( \frac{du}{dx} = a )，变形一下就是 ( dx = \frac{du}{a} )
3. 把原积分里的(\cos(ax+b))换成(\cos u)，(dx)换成( \frac{du}{a} )，代入后积分就变成：
   $$
   \int \cos(u) \cdot \frac{du}{a} = \frac{1}{a} \int \cos(u) du
   $$
4. 现在用已知的积分公式，( \int \cos(u) du = \sin(u) + C )，代回去再把(u)换回(ax+b)，就得到：
   $$
   \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C
   $$

那为什么直接替换不对呢？咱们可以用求导验证一下：如果按你的结果求导，( \frac{d}{dx}[\sin(ax+b)] = a\cos(ax+b) )，这比原被积函数(\cos(ax+b))多了个系数(a)，显然和原积分的被积函数不匹配；而正确结果求导的话，( \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{a}\sin(ax+b)\right] = \frac{1}{a} \cdot a\cos(ax+b) = \cos(ax+b) )，正好和被积函数一致。

本质上来说，这是链式法则在积分里的反向体现：当你对复合函数求导时，会多出来一个内层函数的导数（也就是这里的(a)），那积分作为求导的逆运算，自然要把这个多出来的系数“抵消”掉，所以必须除以(a)。直接替换变量的做法，相当于只替换了复合函数的外层，完全没考虑内层函数导数带来的影响，结果自然就错啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BadUsername