嘿，我来帮你梳理下这个证明思路里的问题，再给出正确的方向～

首先先纠正一个关键的前提错误：你说“$\mathbb{Q}$不是域”，这不对哦！$\mathbb{Q}$是有理数域，而域上的多元多项式环$\mathbb{Q}[X,Y]$是唯一分解整环（UFD）——虽然它确实不是主理想整环（PID），但在UFD里有个重要结论：不可约元等价于素元！这是你没用到的核心点，也是解开困惑的关键。

先看你推导过程里的问题 #

你假设$g = g_1 + (f), h = h_1 + (f) \in R = \mathbb{Q}[X,Y]/(f)$，然后计算$gh=0$时的展开式有笔误，正确的展开应该是：
$$
gh = (g_1 + g_2f)(h_1 + h_2f) = g_1h_1 + (g_1h_2 + g_2h_1)f + g_2h_2f^2
$$
模掉理想$(f)$之后，确实得到$gh = g_1h_1 + (f)$，所以$gh=0$等价于$g_1h_1 \in (f)$，也就是$f$整除$g_1h_1$。你之前写成“$g_1h_2$必须是$f$的倍数”是笔误，应该是$g_1h_1$。

正确的证明路径 #

既然$\mathbb{Q}[X,Y]$是UFD，那我们只需要证明$f$是不可约元，就能直接推出它是素元。下面用两种方法证明$f$不可约：

方法1：用多项式环的艾森斯坦判别法

把$\mathbb{Q}[X,Y]$看成$\mathbb{Q}[Y][X]$，也就是把$f$当作关于$X$的多项式，系数在$\mathbb{Q}[Y]$中：
$$f(X) = X^3 + 0X^2 + 0X + (2Y^2+3)$$
取$\mathbb{Q}[Y]$中的素理想$(2Y^{2+3)$——因为$2Y}2+3$是$\mathbb{Q}[Y]$中的不可约二次多项式（没有有理根，判别式$-24$不是平方数），所以这个理想是素理想。

验证艾森斯坦条件：

• 首项系数$1$不在素理想$(2Y^2+3)$中；
• 其余系数$0,0$都在$(2Y^2+3)$中；
• 常数项$2Y^{2+3$不在$(2Y}2+3)^2$中（后者是次数4的多项式，前者是次数2的，显然不可能包含）。

满足艾森斯坦判别法的条件，所以$f$在$\mathbb{Q}[Y][X]=\mathbb{Q}[X,Y]$中不可约，因此在UFD中它是素元。

方法2：通过商环是整环验证（你的原始思路修正版）

要证$(f)$是素理想，等价于证$R=\mathbb{Q}[X,Y]/(f)$是整环。我们可以把$R$看作$\mathbb{Q}[Y][X]/(X^3+2Y2+3)$，也就是$\mathbb{Q}[Y][\alpha]$，其中$\alpha$满足$\alpha^3 = -2Y^2-3$。

首先，$X^3+2Y2+3$在$\mathbb{Q}(Y)[X]$中不可约：假设它可约，那必有一次因式，即存在$a(Y)\in\mathbb{Q}(Y)$使得$a(Y)^3 +2Y^2+3=0$。通分后左边分子的次数是$3\deg a(Y)$，右边是$2Y^2+3$（次数2），$3k=2$没有整数解，矛盾。因此$\mathbb{Q}(Y)[X]/(f)$是域，而$R=\mathbb{Q}[Y][\alpha]$是这个域的子环，整环的子环也是整环，所以$R$是整环，即$(f)$是素理想，$f$是素元。

总结你的困惑点 #

你之前误以为“非PID中不可约元不等于素元”，但其实这个结论只对一般的整环成立，而$\mathbb{Q}[X,Y]$是UFD，UFD里不可约元一定是素元，这是UFD的核心性质之一。所以只要证明$f$不可约，就能直接得出它是素元，不用纠结PID的限制～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者dancingqueen