嘿，我完全懂你现在卡在这里的感受——从三重积分缩到二重积分，关键是得先把积分区域的范围摸清楚，咱们一步步拆解来搞定这个问题：

首先，先把左边的三重积分的积分区域明确下来：左边是对x从0到1积分，每个x对应的y和z都要满足x ≤ y ≤ 1且x ≤ z ≤ 1。换句话说，整个(x,y,z)的取值区域是：
$$0 ≤ x ≤ \min(y,z) ≤ 1$$

接下来，咱们用富比尼定理交换积分顺序（因为f是连续的，被积函数在有界闭区域上连续，积分顺序可以合法交换）：把原来先积y、z再积x的顺序，换成先积x，再积y、z。

对于任意给定的y和z（都在[0,1]里），x的取值范围是从0到$\min(y,z)$，所以左边的积分可以重写成：
$$
\int_{0}^{1}\int_{0}{1} f(y)(1-y)f(z)(1-z) \left[ \int_{0}^{\min(y,z)} \frac{1}{(1-x)^2} dx \right] dy dz
$$

现在咱们先算最里面关于x的积分：
$$
\int_{0}^{a} \frac{1}{(1-x)^2} dx
$$
这里$a = \min(y,z)$。这个积分的原函数很好找，因为$\frac{d}{dx}\left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2}$，所以代入上下限得到：
$$
\left. \frac{1}{1-x} \right|_{0}^{a} = \frac{1}{1-a} - 1 = \frac{a}{1-a}
$$

接下来把$a = \min(y,z)$代回去，再看这个结果和$g(x,y)$的关系：

• 如果$y ≤ z$，那么$\min(y,z)=y$，此时$(1-y)(1-z) \cdot \frac{y}{1-y} = y(1-z) = y - yz = \min(y,z) - yz = g(y,z)$
• 如果$z ≤ y$，那么$\min(y,z)=z$，此时$(1-y)(1-z) \cdot \frac{z}{1-z} = z(1-y) = z - yz = \min(y,z) - yz = g(y,z)$

你看！不管y和z谁大谁小，$(1-y)(1-z) \cdot \frac{\min(y,z)}{1-\min(y,z)}$都等于$g(y,z)$。

那现在把左边的积分替换一下，就变成了：
$$
\int_{0}^{1}\int_{0}{1} f(y)f(z)g(y,z) dy dz
$$
把变量名z换成x（积分变量只是符号，不影响结果），就完全和右边的二重积分一样了！

另外你提到的数值验证例子$f(x)=3x^2$，用这个推导过程计算的话，确实会得到两边都是$\frac{9}{112}$，也能印证这个推导是对的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ADAM