看起来你走的方向完全是对的，但帕德近似的手动推导确实容易陷入冗长的代数运算里——我当初第一次推PA[2/2]的时候也差点被一堆导数项绕晕😅

先给你吃个定心丸：从N+M阶泰勒展开匹配帕德近似的系数，是构建PA[m/n]的标准方法，你的大方向没问题。

针对你提到的“能不能用PA比值表达式替换f(x)相关项简化计算”这个问题，其实可以换个更高效的思路，避免一开始就展开所有高阶导数：

• 先写出PA[2/2]的通式，把分母的首项设为1（这是帕德近似里常用的简化技巧，能减少一个未知数）：
  PA[2/2](x) = (a₀ + a₁(x-x₁) + a₂(x-x₁)²) / (1 + b₁(x-x₁) + b₂(x-x₁)²)
• 把这个式子交叉相乘，得到等式：
  f(x)·(1 + b₁(x-x₁) + b₂(x-x₁)²) ≈ a₀ + a₁(x-x₁) + a₂(x-x₁)²
• 接下来把左边的f(x)用它在x=x₁处的4阶泰勒展开式代入（保留导数符号，先别急着代入洛伦兹函数的具体导数）：
  [f₀ + f₁(x-x₁) + f₂(x-x₁)²/2! + f₃(x-x₁)³/3! + f₄(x-x₁)⁴/4!]·(1 + b₁(x-x₁) + b₂(x-x₁)²) ≈ a₀ + a₁(x-x₁) + a₂(x-x₁)²
  这里f₀=f(x₁)，f₁=f’(x₁)，f₂=f''(x₁)，以此类推。
• 把左边展开后，整理成(x-x₁)的幂次形式，然后让两边对应幂次的系数相等，就能得到一组关于a₀,a₁,a₂,b₁,b₂的线性方程组。解这个方程组会比直接展开所有导数项要清晰很多，而且你可以先得到系数用f₀~f₄表示的表达式，最后再代入洛伦兹函数的具体导数数值。

另外提个小细节：洛伦兹函数本身是有理函数，如果你是在它的极点附近做近似，PA[2/2]的精度会非常好；如果是在普通点，这个方法依然完全适用。

如果手动计算实在太繁琐，也可以用符号计算工具（比如SymPy）辅助推导，验证你的结果是否正确，能省不少力气。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1288129