我现在卡在一个凸锥相关的证明问题上，想请大家帮忙出出主意！

我的核心目标是：证明当前置条件成立时，存在非零向量(z)满足
$$\exists z\neq 0 \text{ such that }z\in K°\cap L^\perp.$$
这个结论对我特别重要，因为它能让我调用手头已有的其他研究结论，进而推进整个问题的推导。

先跟大家同步几个已知的背景信息和我试过的思路：

• 我已经明确，线性子空间的极锥就是它的正交补
• 直觉上这个结论是成立的，比如在二维空间(d=2)的场景下很容易验证
• 我已经尝试过两种推导方向，但都没走通：
  • 考虑用Farkas引理的某种变形来切入，但始终没找到合适的推导路径
  • 也试过利用极锥的经典性质：两个锥的极锥交集等于它们Minkowski和的极锥，也就是(K_1^°\cap K_2^°=(K_1\oplus K_2)^°)，不过这条思路也没能帮我得到想要的结果

不过刚才Theo指出了一个简单的反例，说明我之前的问题设定有漏洞——我必须补充一个关键限制：(K)不是线性子空间。

任何思路或者提示我都非常欢迎，真的很感谢大家的帮助！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pablo