我正在找能解释**格范畴中商对象定义（或多种定义）**的参考资料，特别希望能找到基于泛性质的刻画——这样方便和其他“商对象”的概念做对比。毕竟集合范畴里的商构造可以推广出好几种范畴论层面的商对象概念，我好奇其中哪些能适用于格范畴。

这里要特意说明：我问的是序理论意义上的“格”，不是本站其他和“商格”相关问题里的概念。我自己做了些初步的探索，放在下面的社区wiki内容里，但目前的结论似乎只适用于分配格。

动机背景 #

给定集合$W$和它的一个固定子集$U \subseteq W$，我们考虑幂集格$2^W$的子格$\mathscr{L}$，其中$\mathscr{L} := {V \subseteq W : U \subseteq V}$；另外还有子格$2^U$。

直观上我总觉得应该有“$\mathscr{L} \cong 2^W / 2^{U$”这样的结论，但这首先得把$2}W / 2^U$的定义明确下来。

类比向量空间里的商构造：对于子空间$U$，有$v_1 \cong_U v_2 \iff v_1 - v_2 \in U$，我在$2^W$上定义了一个等价关系：

$V_1 \cong_U V_2 \iff V_1 \setminus V_2 \subseteq U \text{ 且 } V_2 \setminus V_1 \subseteq U$

这个等价关系也可以等价表述为：存在$\tilde{U}_1, \tilde{U}_2 \subseteq U$（也就是$\tilde{U}_1, \tilde{U}_2 \in 2^U$），使得$V_1 = V_2 \cup \tilde{U}_1$且$V_2 = V_1 \cup \tilde{U}_2$。

另外$\mathscr{L}$也可以等价定义为${V \cup U : V \subseteq W}$，我已经能证明$\mathscr{L}$和商集$2^W / \cong_U$之间存在双射。所以如果能把“$2^W / 2^{U$”定义为$2}W / \cong_U$，那这个直观的同构结论就既严谨又成立了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者hasManyStupidQuestions