问题描述 #

设函数 $f: (0, \infty)\to\mathbb{R}$ 存在原函数 $F$，且 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} F(x)$ 存在且有限。
a. 请给出一个这样的函数 $f$，使得 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} xf(x)$ 不存在。
b. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} xf(x)$ 存在，证明它等于0。

我的尝试（仅针对问题a） #

我想构造的函数是 $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$，此时 $xf(x)=\sin x$，显然当 $x\to\infty$ 时这个极限不存在，符合问题a的要求。但我卡在了证明它的原函数 $F(x)$ 在 $x\to\infty$ 时存在有限极限，目前只证出了原函数有下界（因为 $\frac{\sin(x)}{x}\geq \frac{-1}{x}$，积分后结果显然大于某个有限值），但不知道怎么证明它有上界或者极限确实存在。

专家解答 #

针对问题a的验证

你选的这个例子完全正确！我们可以用狄利克雷判别法来证明原函数的极限存在且有限：

考虑原函数 $F(x) = \int_{1}^{x} \frac{\sin t}{t} dt$（取积分下限为1，只要是正实数都可以），要证明 $\lim_{x\to\infty} F(x)$ 存在，只需验证反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ 收敛：

• 函数 $\sin t$ 在 $[1, +\infty)$ 上的积分 $\int_{1}^{x} \sin t dt = \cos1 - \cos x$，这个积分的绝对值始终不超过2，是有界的；
• 函数 $\frac{1}{t}$ 在 $[1, +\infty)$ 上单调递减，且当 $t\to\infty$ 时趋于0。

根据狄利克雷判别法，上述反常积分收敛，也就是说 $\lim_{x\to\infty} F(x)$ 存在且有限（这个极限是著名的正弦积分值 $\text{Si}(\infty)=\frac{\pi}{2}$，不过我们只需要知道它收敛即可）。因此 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 完全满足问题a的所有条件。

针对问题b的证明思路

假设 $\lim_{x\to\infty} xf(x)=L$，我们可以通过反证法结合积分性质来证明 $L=0$：

设 $\lim_{x\to\infty} F(x)=C$（有限值），则对于任意 $\epsilon>0$，存在 $M>0$，当 $x>M$ 时，$|xf(x)-L|<\epsilon$，即 $|f(x)-\frac{L}{x}|<\frac{\epsilon}{x}$。对这个不等式从 $M$ 到 $x$ 积分：
$$|F(x)-F(M) - L(\ln x - \ln M)| < \epsilon(\ln x - \ln M)$$

当 $x\to\infty$ 时，左边的 $F(x)-F(M)$ 趋于 $C-F(M)$（有限值），而右边的 $\epsilon(\ln x - \ln M)$ 会趋于无穷大。如果 $L\neq0$，左边的表达式会是 $-L\ln x + O(1)$，显然会趋于无穷，这与左边是有限值矛盾。因此只能有 $L=0$，即 $\lim_{x\to\infty} xf(x)=0$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathman