实对称矩阵子矩阵的特征值相关问题咨询

各位好，我目前在研究实对称矩阵的子矩阵特征值相关问题，想请教大家两个问题：

假设我有一个实对称矩阵 $A\in\mathbb{R}^{N\times N}$，现在考虑它的子矩阵 $B$：我会选取一组互不重复的索引集合 $J={j}$（满足 $1\leq j \leq N$），子矩阵 $B$ 由 $A$ 中行和列索引都属于 $J$ 的所有元素 $A_{kl}$ 组成，而且元素的排列顺序和它们在原矩阵 $A$ 中完全一致。

我的两个问题如下：

• 我猜想如果原矩阵 $A$ 是正定矩阵，那么任意选取的这类子矩阵也一定是正定的，这个猜想是否正确？
• 现在把 $A$ 拆分成两个子矩阵 $B$ 和 $C$，它们分别由两个不相交的索引集合 $J={j}$ 和 $K={k}$（满足 $1\leq k \leq N$，$1\leq j \leq N$）按照上述子矩阵的构造方式得到。已知 $C$ 是正定矩阵，而 $B$ 的谱中仅有一个负特征值，那么关于原矩阵 $A$ 的特征值，我能得到什么结论呢？

我尽量把问题描述清楚了，非常感谢各位的帮助！

Cheers,
Hendrik

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hendrik