各位大佬好，我最近在研究浅水面射流中流体粒子的轨迹问题，遇到了一个困惑，想请大家帮忙解惑：

首先先交代一下问题背景：

考虑从薄矩形槽向静止流体中沿X方向射出的浅水面自由射流，射流内的平均速度场为：
$$u(x)= \frac{n}{kx+s}$$
初始条件为 $u(x = 0) = U_0$。

根据粒子速度等于平均流场的近似，粒子X方向的运动微分方程为：
$$\frac{dx}{dt}= \frac{n}{kx+s}$$
求解该方程（取正解）后得到：
$$ x(t) = \sqrt{s^2+c_1k+2nkt}-s$$
结合初始条件 $x(t = 0) = 0$，可以确定 $c_1 = 0$，最终得到粒子X方向的位移随时间的变化关系：
$$x(t) = \sqrt{s^2+2nkt}-s$$
能看出来x(t)和t的平方根成正比。

现在我给粒子施加一个垂直于射流方向（Y方向）的力，射流会发生弯曲。我把这个问题类比成平抛运动，但区别在于这里X方向的速度是衰减的。

我假设粒子的轨迹是不高于2阶的多项式，形式为：
$$ y = Ax^f+Bx{f-1}+C$$
对其求X的导数可得：
$$\frac{dy}{dx} = fAx^{f-1}+(f-1)B$$
再对时间t求导，结合链式法则可以得到Y方向的速度：
$$\frac{dy}{dt} = \left[fAx^{f-1}+(f-1)B\right]\frac{dx}{dt}$$

接下来我分两种情况进行了推导：

情况1：f=1（直线轨迹） #

此时粒子轨迹是直线，对$\frac{dy}{dt} = A\frac{dx}{dt}$再次对t求导，得到Y方向的加速度（正比于Y方向的力）：
$$\frac{d^2y}{dt2} = A\frac{d^2x}{dt2}$$
代入x(t)的表达式计算二阶导数，再把时间t替换为位移x，最终得到Y方向力的依赖关系：
$$ F_y \sim x^{-\frac{3}{2}}$$

情况2：f=2（抛物线轨迹） #

此时粒子轨迹是抛物线，对$\frac{dy}{dt} = (2Ax+B)\frac{dx}{dt}$再次对t求导，得到：
$$\frac{d^2y}{dt2} = \frac{d(2Ax+B)}{dt}\frac{dx}{dt}+ (2Ax+B)\frac{d^2x}{dt2}$$
代入x(t)的表达式展开计算后，再把时间t替换为位移x，最终得到的Y方向力依赖关系居然也是：
$$ F_y \sim x^{-\frac{3}{2}}$$

这和我预期的完全不一样——我本以为抛物线轨迹对应的Y方向力，应该和直线轨迹有不同的x依赖关系，但现在两者的结果形式完全一致。

我自己梳理了一下推导过程，发现抛物线的加速度表达式里，除了常数项B之外，剩下的部分可以写成$2Af'^2 + 2Af f''$，而对于我们得到的x(t)来说，恰好满足$f'^2 + f f'' = 0$，所以这部分直接抵消了，只剩下和B相关的项，最终就和直线轨迹的结果形式一致了。

有没有大佬能帮我解释一下这个现象？是不是我的推导哪里有疏漏，或者这个结果本身就是合理的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matteo Sollevanti