嗨，我来帮你搞定这个极限问题！你一开始觉得这是1^∞型，想用快捷技巧，但其实这个技巧的正确形式你没掌握对，而且咱们换个更稳妥的思路——用斯特林公式（处理阶乘极限的神器）来解会更清晰。

方法一：斯特林公式直接代入 #

斯特林公式是阶乘的渐近近似，对大n成立：
$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$$

我们把$(2n)!$和$n!$都用这个公式替换：

• $(2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}$
• $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$

现在计算原式里的核心部分$\frac{(2n)!}{n!n^n}$：
$$
\frac{(2n)!}{n!n^n} \sim \frac{\sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{\sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot n^n}
$$

逐项化简：

1. 根号部分：$\frac{\sqrt{4\pi n}}{\sqrt{2\pi n}} = \sqrt{2}$
2. 指数部分：$\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} = \frac{2^{2n}n{2n}}{e^{{2n}}$，分母里的$\left(\frac{n}{e}\right)}n \cdot n^n = \frac{n^n}{en} \cdot n^n = \frac{n^{2n}}{en}$，两者相除得$\frac{2^{2n}}{en} = \left(\frac{4}{e}\right)^n$

所以整体化简后：
$$
\frac{(2n)!}{n!n^n} \sim \sqrt{2} \cdot \left(\frac{4}{e}\right)^n
$$

接下来取$\frac{1}{n}$次方：
$$
\left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right){\frac{1}{n}} \sim \left(\sqrt{2} \cdot \left(\frac{4}{e}\right)^n\right){\frac{1}{n}} = (\sqrt{2})^{\frac{1}{n}} \cdot \frac{4}{e}
$$

当$n\to\infty$时，$(\sqrt{2})^{\frac{1}{n}} \to 1$（任何正实数的0次方为1），所以最终极限是：
$$
\lim_{n\to \infty} \left(\frac{(2n)!}{n!n^n}\right){\frac{1}{n}} = \frac{4}{e}
$$

方法二：先取对数再计算（验证结果） #

咱们也可以用取对数的方法来验证，避免近似公式的疑惑：
设$A = \frac{(2n)!}{n!n^n}$，原极限就是$\lim_{n\to\infty} A^{\frac{1}{n}}$，等价于$\exp\left(\lim_{n\to\infty} \frac{\ln A}{n}\right)$

计算$\ln A = \ln(2n)! - \ln(n!) - n\ln n$，用斯特林公式的对数形式$\ln(n!) \sim n\ln n -n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n)$：

• $\ln(2n)! \sim 2n\ln(2n) -2n + \frac{1}{2}\ln(4\pi n) = 2n\ln2 + 2n\ln n -2n + \ln2 + \frac{1}{2}\ln\pi + \frac{1}{2}\ln n$
• $\ln(n!) \sim n\ln n -n + \frac{1}{2}(\ln2 + \ln\pi + \ln n)$

代入$\ln A$后逐项抵消化简，最终得到：
$$
\ln A \sim n(2\ln2 -1) + \frac{1}{2}\ln2
$$

两边除以n再取极限：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln A}{n} = 2\ln2 -1 = \ln4 - \ln e = \ln\left(\frac{4}{e}\right)
$$

所以原极限为$\exp\left(\ln\left(\frac{4}{e}\right)\right) = \frac{4}{e}$，和方法一结果一致。

关于你用的“猴子技巧”的说明 #

你提到的1^∞型极限技巧，正确的转化形式是：如果$\lim f(n)^{g(n)}$是1∞型，那么$\lim f(n)^{g(n)} = \exp\left(\lim g(n)(f(n)-1)\right)$，你直接把指数提出来变成$\frac{1}{n}\lim(f(n)-1)$是错误的，少了外层的指数函数。不过就算用这个方法，直接计算$\lim \frac{A-1}{n}$会比较麻烦，不如上面的方法直接。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Harikrishnan M