昨天我突然想到一个三角形几何问题，折腾了半天还没找到答案，想请教大家：

给定任意三角形$∆ABC$，我要找一个点$M$，满足以下要求：

• 作三个圆：每个圆都经过三角形的两个顶点和点$M$（也就是过$B$、$C$、$M$的圆，过$A$、$C$、$M$的圆，过$A$、$B$、$M$的圆）
• 对三角形的三个顶点做反演变换：$A'$是$A$关于过$B$、$C$、$M$的圆的反演点，$B'$是$B$关于过$A$、$C$、$M$的圆的反演点，$C'$是$C$关于过$A$、$B$、$M$的圆的反演点
• 最终得到的$∆A'B'C'$必须是等边三角形

我已经查了Clark Kimberling的三角形中心百科，挑了大概15个常见的三角形中心验证，结果都不符合这个性质。我实在不想挨个去试百科里的所有点，想问问有没有更高效的方法？比如，有没有办法用尺规作图直接构造出这个点$M$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者زكريا حسناوي