嗨，很高兴能帮你梳理这个线性映射值域的问题！我会结合有限维向量空间的特性，一步步拆解你的疑问：

一般情况的结论 #

首先，对于任意两个有限维线性映射 $T,S: V \to W$，$\mathrm{range}(T+S)$ 并没有特别简洁的通用表达式——它总是包含在 $\mathrm{range}(T) + \mathrm{range}(S)$ 之中，但两者的大小可能相差极大，就像你举的例子：当 $S=-T$ 时，$\mathrm{range}(T+S)$ 直接退化为零空间，远小于两个值域的和。

直和假设下的反例 #

你提到如果 $W = \mathrm{range}(T) \oplus \mathrm{range}(S)$（即两个值域是直和），是不是就能保证 $\mathrm{range}(T+S) = \mathrm{range}(T) + \mathrm{range}(S)$？答案是否定的，这里给你举个典型的反例：

• 取 $V = \mathbb{R}$（一维空间），$W = \mathbb{R}^2$；
• 定义 $T(t) = (t, 0)$，其值域是x轴；$S(t) = (0, t)$，其值域是y轴；
• 显然 $\mathrm{range}(T) \oplus \mathrm{range}(S) = \mathbb{R}^2 = W$，但 $T+S(t) = (t, t)$，它的值域是直线 $y=x$，远小于两个值域的直和（整个二维空间）。

保证等式成立的条件 #

那要在 $W = \mathrm{range}(T) \oplus \mathrm{range}(S)$ 的前提下，让 $\mathrm{range}(T+S) = \mathrm{range}(T) + \mathrm{range}(S)$，需要什么额外条件呢？结合有限维空间的秩-零度定理，我们可以得到一个等价的关键条件：

$\ker(T) + \ker(S) = V$（即两个映射的核的和是整个定义域空间）

换个更直观的说法：对于任意的向量 $v \in V$，都能拆成 $v = v_1 + v_2$，其中 $T(v_2)=0$ 且 $S(v_1)=0$。

我们可以用维数验证这个条件：

• 因为 $W = \mathrm{range}(T) \oplus \mathrm{range}(S)$，所以 $\dim(\mathrm{range}(T) + \mathrm{range}(S)) = \dim(\mathrm{range}(T)) + \dim(\mathrm{range}(S))$；
• 根据秩-零度定理，$\dim(\mathrm{range}(T)) = \dim(V) - \dim(\ker(T))$，$\dim(\mathrm{range}(S)) = \dim(V) - \dim(\ker(S))$；
• 要让 $\dim(\mathrm{range}(T+S)) = \dim(\mathrm{range}(T)) + \dim(\mathrm{range}(S))$，代入后整理可得：$\dim(\ker(T+S)) = \dim(\ker(T) \cap \ker(S))$；
• 而 $\ker(T) \cap \ker(S)$ 总是包含于 $\ker(T+S)$，所以等式成立当且仅当 $\ker(T) \cap \ker(S) = \ker(T+S)$，这等价于 $\ker(T) + \ker(S) = V$（子空间维数公式推导可得）。

举个满足条件的例子：取 $V = \mathbb{R}^2$，$W = \mathbb{R}^2$，$T(x,y)=(x,0)$（值域x轴，核是y轴），$S(x,y)=(0,y)$（值域y轴，核是x轴）。此时 $\ker(T) + \ker(S) = \mathbb{R}^2 = V$，$T+S$ 是恒等映射，值域为整个 $\mathbb{R}^2$，等于两个值域的直和。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Peter Crawford-Kahrl