你已经完成了最核心的铺垫工作，剩下的其实就是利用行列式的唯一性定理来临门一脚啦！我来帮你理清楚这最后一步：

首先，先回顾你已经证明的结论：

• 映射 $F(B) = \operatorname{det}(A)^{-1}\operatorname{det}(AB)$ 是 $\mathbb{k}^{n \times n}$ 列空间上的n-多重线性交替形式；
• 这个映射在单位矩阵 $I$ 上的取值为 $1$，也就是 $F(I) = 1$。

接下来要用到一个关键的行列式性质：在域 $\mathbb{k}$ 上的n维列空间中，只存在唯一一个n-多重线性交替形式，使得它在标准单位矩阵（列是标准基向量）上的取值为1——而这个唯一的形式，就是我们定义的行列式 $\operatorname{det}(B)$。

换句话说，所有满足“n-多重线性交替+在单位矩阵上取1”的映射，都必然等于行列式函数。那你构造的 $F(B)$ 完全符合这两个条件，所以必然有：
$$F(B) = \operatorname{det}(B)$$

把 $F(B)$ 的定义代进去，就是：
$$\operatorname{det}(A)^{-1}\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(B)$$

两边同时乘以 $\operatorname{det}(A)$（这里先默认 $\operatorname{det}(A) \neq 0$，也就是A是非奇异矩阵），直接就能得到：
$$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$$

最后再补一下奇异矩阵的情况（也就是 $\operatorname{det}(A)=0$ 的时候）：
如果A是奇异矩阵，说明它的列向量线性相关，那么AB的列向量其实是A的列向量的线性组合，自然也线性相关，所以 $\operatorname{det}(AB)=0$，这时候等式右边 $\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)=0 \times \operatorname{det}(B)=0$，等式依然成立。

这样就完整证明了对任意 $A,B \in \mathbb{k}^{n \times n}$，都有 $\operatorname{det}(AB)=\operatorname{det}(A)\operatorname{det}(B)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cor1.1.29