别担心，这个问题一点都不麻烦！我们的核心目标就是验证这两个行列式的数值完全相等，用高斯法的关键就是利用行列式的行变换性质——这些变换要么不改变行列式的值，要么可以清晰追踪数值变化，最终让我们看到两个行列式其实是“等价”的。

首先，先明确几个高斯法会用到的行列式核心行变换规则：

• 把某一行的k倍加到另一行上，行列式的值不变；
• 如果两行完全相同，或者一行是另一行的非零倍数，行列式的值为0；
• 给某一行乘以非零常数k，行列式的值变为原来的k倍。

先分析右边的行列式：$D_2 = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \a & b & c \b+c & a+c & a+b\end{vmatrix}$ #

观察第三行的元素可以发现：$b+c = (a+b+c) - a$，$a+c = (a+b+c) - b$，$a+b = (a+b+c) - c$，也就是第三行可以写成：
$R_3 = (a+b+c)R_1 - R_2$

根据行列式性质，我们给第三行加上第二行（属于“某一行的1倍加到另一行”的变换，不改变行列式值），得到新的第三行：
$R_3' = (a+b+c)R_1 - R_2 + R_2 = (a+b+c)R_1$

此时右边的行列式变为：
$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \a & b & c \(a+b+c) & (a+b+c) & (a+b+c)\end{vmatrix}$$

第三行是第一行的$(a+b+c)$倍，符合“一行是另一行倍数”的情况，所以这个行列式的值为0，即$D_2 = 0$。

再分析左边的行列式：$D_1 = \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\frac{1}{a} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \bc & ac & ab\end{vmatrix}$ #

因为a、b、c都是非零常数，观察第三行元素可以发现：
$bc = abc \times \frac{1}{a}$，$ac = abc \times \frac{1}{b}$，$ab = abc \times \frac{1}{c}$，也就是第三行是第二行的$abc$倍，即$R_3 = abc \cdot R_2$

根据行列式性质，一行是另一行的非零倍数时，行列式的值为0，所以$D_1 = 0$。

既然$D_1 = 0$且$D_2 = 0$，那自然有$D_1 = D_2$，原等式就成立啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thelast12e1