嗨，作为经常帮水族爱好者梳理这类问题的人，我来给你确认下这个公式的准确性~

先帮你把问题背景再明确下：

水族箱或草缸的过滤能力通常用每小时过滤的缸体体积倍数来表示，比如一个400L的缸搭配1000L/h的水泵，就意味着每小时能过滤2.5倍的缸体体积。
核心问题是：假设缸内水体能瞬间完全混合，怎么计算给定时间内被过滤的水的比例（或是剩余未被过滤的水的比例）？

你基于连续复利公式推导出来的公式：
$$fractionFiltered = 1 - \frac{1}{e^{f*t}}$$
（其中$f$是每小时过滤的缸体体积倍数，$t$是时间，单位为小时）

这个公式完全正确！

拿你举的例子验证：当$f=1$、$t=1$时，计算结果是$1 - 1/e ≈ 0.632$，也就是63.2%的水在1小时内经过了过滤，这个结果完全符合理想混合模型下的计算结论。

简单给你解释下为什么这个公式成立： #

这个模型本质上和放射性衰变、连续搅拌容器的物料衡算是同一个逻辑——未被过滤的水的比例会随时间呈指数衰减。

我们可以用通俗的方式推导：假设某一时刻未被过滤的水的比例是$P(t)$，那么在极短的一小段时间$\Delta t$里，水泵抽走的水的体积是$f*\Delta t$倍缸体体积，这部分抽走的水里，未被过滤的比例就是当前的$P(t)$，所以未被过滤的比例会减少$fP(t)\Delta t$。

当$\Delta t$趋近于0时，就能得到微分方程：
$$\frac{dP}{dt} = -fP$$
结合初始条件（$t=0$时，所有水都没被过滤过，$P(0)=1$），解出来的结果就是$P(t) = e^{{-ft}$——也就是剩余未被过滤的水的比例是$e}{-ft}$，那么被过滤的比例自然就是$1 - e^{-ft}$，和你推导的$1 - 1/e^{ft}$完全等价。

额外补充点实际参考： #

这个公式的前提是水体瞬间完全混合，也就是水泵抽走的水是缸内随机分布的一部分。实际水族箱里可能会存在一些水流死角，但这个模型已经是非常贴近理想情况的准确计算方式了，完全能满足日常水族箱过滤规划的需求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vilmantas Baranauskas