我最近碰到一个半单李代数相关的证明问题，想请教一下：设$L$是特征为0的代数闭域$F$上的半单李代数，$\alpha$是$L$的根，同时$c\alpha$（$c\in F$）也是$L$的根，我需要证明$c$只能取1或者-1。

我已经掌握了“若$\alpha$是根，则$-\alpha$也是根”这个结论的证明思路，但一直没找到上述命题的推导过程——也就是为什么根的非零倍数里，只有它本身和它的负元能成为根。我翻了StackExchange和Humphreys的《Introduction to Lie algebras and representation theory》，都没找到相关论证，想问问大家该怎么证明这个结论？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Flynn Fehre