嘿，咱们先理一理这个问题哈！首先明确规则：6张不同的牌（就用${1,2,3,4,5,6}$来代表），要求任意两张牌，都恰好存在唯一一张牌和它们组成一个“幻三元组”。

按照组合计算的话，总共有${6 \choose 2}=15$对不同的牌，每个幻三元组包含3对牌，乍一看似乎应该有$15/3=5$个幻三元组，但这里藏着一个关键结论：其实满足这个条件的6张牌幻三元组集合是不存在的！

为什么这么说呢？咱们换个角度算：假设每张牌会出现在$r$个三元组里，每张牌要和另外5张牌配对，每个三元组能帮它覆盖2个配对，所以$2r=5$，算出来$r=2.5$——这显然不可能啊，牌出现在三元组的次数总不能是小数吧！

再看看你之前找到的4个三元组：

• ${1,2,3}$
• ${1,4,5}$
• ${2,4,6}$
• ${3,5,6}$

咱们数一下它们覆盖的牌对：(1,2),(1,3),(2,3),(1,4),(1,5),(4,5),(2,4),(2,6),(4,6),(3,5),(3,6),(5,6)，总共12对，还剩下(1,6),(2,5),(3,4)这三对没被覆盖。可这三对根本没法组成合法的幻三元组——比如给(1,6)找第三张牌，不管选2、3、4、5里的哪一个，都会和已有的三元组冲突：选2的话，(1,2)已经在${1,2,3}$里了，违背“任意两张恰好对应一个幻三元组”的要求；选5的话，(1,5)已经在${1,4,5}$里了，同样冲突。

本质上，这种“任意两张元素恰好对应一个三元组”的结构叫做Steiner三元系，它的存在是有严格条件的：对于包含$v$个元素的三元系，要求$v \equiv 1$或$3 \pmod{6}$，而6除以6余0，不满足这个条件，所以根本没法构造出符合要求的完整集合。

而81张牌的场景是可行的，因为81=$3^4$，对应4维有限仿射空间$\text{AG}(4,3)$，每个幻三元组就是空间里的一条直线（每条直线恰好包含3个点，任意两个点确定唯一一条直线），完美满足规则要求。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Azlif