设 $(R, m_R, \kappa_R)$ 是一个离散赋值环（DVR），商域为 $K$，$K \subset L$ 是有限域扩张。记 $B$ 为 $R$ 在 $L$ 中的整闭包（一般来说它不是DVR），$\mathfrak{P}_1, \mathfrak{P}_2, ..., \frak{P}_m$ 是 $B$ 中位于 $m_R$ 上方的极大素理想。此时我们有分歧分解：
$$m_R \cdot B= \mathfrak{P}_1^{e_1} \cdot \mathfrak{P}_2^{e_2} \cdot ... \cdot \mathfrak{P}_m^{e_m}$$
令 $f_i:= [B/\mathfrak{P}_i : \kappa_R]$。

我现在首先想构造出满足以下性质的 $(R,B;K,L)$ 构形：

• $L$ 是单生成扩张，即 $L=K(\alpha)$；
• 满足严格不等式 $[L:K] >\sum e_if_i$。

注意：要满足第二条，$L/K$ 必然不是可分扩张。

一个“病态”变体问题 #

是否存在如上构造的扩张 $R \subset B$，使得 $B$ 本身也是DVR（即 $(B, m_B, \kappa_B)$ 是DVR），同时满足 $\kappa_R=\kappa_B$、分歧指数 $e_{B/R}=1$，但 $R \neq B$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user267839