以下习题出自Ridgway Scott的《数值分析》：

（注：原习题配有一张包含具体问题的图片）

其中$\omega_n(x)$是第一类切比雪夫多项式，定义为：
$$\omega_{n+1}(x)=2^{{-n}\cos\left((n+1)\cos}{-1}(x)\right)$$

我已经证明过这类多项式在权函数$1/\sqrt{1-x^{2}$下是正交的，但找不到关于权函数$\sqrt{1-x}2}$的相关结论。按照提示做替换后，我需要计算积分：
$$\int_0^\pi \cos(j\theta)\cos(k\theta)\sin^2(\theta)d\theta$$

我该怎么计算这个积分？是不是有什么我没注意到的三角恒等式？用积化和差好像没什么进展。

别担心，这个积分用基础的三角恒等式就能一步步拆解解决，咱们来慢慢理清楚：

首先，先把$\sin^2\theta$用二倍角公式展开，这是关键的第一步：
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos2\theta}{2}$$

把这个代入原积分，就能把积分拆成两个独立的部分，复杂度一下子就降下来了：
$$\int_0^\pi \cos(j\theta)\cos(k\theta)\sin^2(\theta)d\theta = \frac{1}{2}\int_0^\pi \cos(j\theta)\cos(k\theta)d\theta - \frac{1}{2}\int_0^\pi \cos(j\theta)\cos(k\theta)\cos2\theta d\theta$$

接下来咱们分别处理这两个积分，用积化和差公式来处理余弦的乘积：
$$\cos A \cos B = \frac{1}{2}\left[\cos(A+B) + \cos(A-B)\right]$$

处理第一个积分 $\int_0^\pi \cos(j\theta)\cos(k\theta)d\theta$ #

代入积化和差公式后得到：
$$\frac{1}{2}\int_0^\pi \left[\cos((j+k)\theta) + \cos((j-k)\theta)\right]d\theta$$

这里分两种情况讨论：

• 如果 $j \neq k$，那么$(j+k)$和$(j-k)$都不为0，余弦函数在$[0,\pi]$上的积分都是0，所以这个积分结果为0；
• 如果 $j = k$，此时$\cos((j-k)\theta)=\cos0=1$，积分就变成：
  $$\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2j\theta)}{2j}\bigg|_0^\pi + \int_0^\pi 1d\theta\right] = \frac{\pi}{2}$$

处理第二个积分 $\int_0^\pi \cos(j\theta)\cos(k\theta)\cos2\theta d\theta$ #

先把前两个余弦项合并，用积化和差公式得到：
$$\cos(j\theta)\cos(k\theta) = \frac{1}{2}\left[\cos((j+k)\theta) + \cos((j-k)\theta)\right]$$

代入后积分变为：
$$\frac{1}{2}\int_0^\pi \left[\cos((j+k)\theta)\cos2\theta + \cos((j-k)\theta)\cos2\theta\right]d\theta$$

再对每一项再次使用积化和差公式：
$$\cos((j+k)\theta)\cos2\theta = \frac{1}{2}\left[\cos((j+k+2)\theta) + \cos((j+k-2)\theta)\right]$$
$$\cos((j-k)\theta)\cos2\theta = \frac{1}{2}\left[\cos((j-k+2)\theta) + \cos((j-k-2)\theta)\right]$$

同样分情况讨论：

1. 当 $j \neq k$ 时：
   • 如果 $|j - k| \neq 2$ 且 $j + k \neq 2$，所有余弦项在$[0,\pi]$上的积分都是0，所以这个积分结果为0；
   • 如果 $|j - k| = 2$（比如$j = k+2$），此时$\cos((j-k-2)\theta)=\cos0=1$，计算后积分结果为$\frac{\pi}{4}$；
   • 如果 $j + k = 2$（比如$j=0,k=2$），此时$\cos((j+k-2)\theta)=\cos0=1$，积分结果也是$\frac{\pi}{4}$；
2. 当 $j = k$ 时：
   • 若 $j=0$，积分结果为0；
   • 若 $j=1$，积分结果为$\frac{\pi}{4}$；
   • 若 $j≥2$，所有余弦项的积分都是0，所以结果为0；

合并结果得到原积分的最终值 #

把两个积分的结果结合起来，就能得到原积分的所有情况：

• 当 $j = k = 0$：$\frac{1}{2}*\pi - \frac{1}{2}*0 = \frac{\pi}{2}$；
• 当 $j = k = 1$：$\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$；
• 当 $j = k ≥2$：$\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}*0 = \frac{\pi}{4}$；
• 当 $|j - k| = 2$：$0 - \frac{1}{2}*\frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{8}$；
• 其他 $j≠k$ 的情况：$0 - 0 = 0$；

这样你就能得到这个积分的结果，进而推导出第一类切比雪夫多项式在权函数$\sqrt{1-x^2}$下的正交性相关结论啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者modz