我卡在一个看似简单的证明上好久了：给定一族从Banach空间$X$到赋范空间$Y$的线性有界算子$(T_i)_{i\in I}$，如果$\Vert T_n \Vert$不是一致有界的，我想找到一个序列$(x_n)$使得$T_n$在$x$处不是逐点有界的。

我尝试用相关引理来处理这个问题，一开始天真地选了一个柯西序列$x_n$，满足$\Vert x_n - x_{n-1} \Vert \le \frac{1}{3^n}$，且$\Vert T_n x_n \Vert \ge \Vert T_n \Vert \frac{1}{3^n}$。根据Banach空间的完备性，这个序列收敛到某个$x$，但问题出在我找不到$\Vert x-x_n \Vert$的合适上界。

我们有这个不等式：
$$\Vert T_n x \Vert = \Vert T_n(x-x_n) + T_n x_n \Vert \ge \Vert T_n x_n \Vert - \Vert T_n \Vert \Vert x-x_n \Vert \tag{*}$$

为了修正这个问题，我换了一种方式选取$y_n$：令$y_n := x_N$，其中$N$是满足对所有$m \ge N$都有$\Vert x-x_m \Vert \le \frac{1}{2} \frac{1}{3^n}$的最小整数。这样一来，$\Vert y_{n} - y_{n-1} \Vert \le \frac{1}{2} \frac{1}{3^{n-1}}$（这个上界不如之前的尖锐），而且可以推出：
$$\tag{*} \ge \Vert T_n \Vert \left(\frac{1}{2}\frac{1}{3^{{n-1}}-\frac{1}{2}\frac{1}{3}n}\right) = \frac{1}{3^n} \Vert T_n \Vert$$

现在我想请教两个问题：

• (i) 这个证明是有效的吗？
• (ii) 为什么我得到的系数和参考论文里的不一样？（不过只要思路可行，系数其实不重要就是了）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dinoman