嘿，这个问题问到点子上了！其实核心原因都藏在单位圆的对称性里，咱们用最直观的方式拆解：

一、先看π倍数加减α的情况：本质是180度旋转的中心对称 #

想象你站在单位圆上对应角度α的点，坐标是(cosα, sinα)——毕竟cos对应x轴坐标，sin对应y轴坐标嘛。

当你给α加上π（也就是转180度），这个点会直接绕原点转到对面，坐标变成(-cosα, -sinα)。所以：

• sin(α + π) = -sinα（y坐标变负）
• cos(α + π) = -cosα（x坐标变负）

如果加的是2π（转360度），那直接回到原位，函数值完全不变；要是加kπ（k是整数），偶数k就是转整圈，函数值不变；奇数k就是转半圈，函数值变号。这就是为啥π倍数加减α时，函数类型还是sin/cos本身，只是符号由最终所在象限决定。

二、再看π/2奇数倍加减α的情况：本质是90度旋转的坐标互换 #

当你给α加上π/2（转90度），单位圆上的点(cosα, sinα)会变成(-sinα, cosα)——逆时针转90度的坐标变换规则就是x变-y，y变x。这时候：

• sin(α + π/2)对应的是新点的y坐标，也就是cosα
• cos(α + π/2)对应的是新点的x坐标，也就是-sinα

你看，这时候sin直接变成了cos，cos变成了-sin，也就是所谓的“余函数”互换。如果是加3π/2（转270度），坐标变换是(sinα, -cosα)，同样会触发sin和cos的互换，只是符号再根据象限调整。

说白了，π/2的奇数倍旋转，直接把x轴和y轴的坐标给互换了，而sin对应y、cos对应x，自然就变成了彼此的余函数；而π倍数旋转只是把坐标取反，函数对应的轴没变，所以还是原函数，只是符号改变。

你可以自己画个单位圆，标个α（比如30度），然后转90度、180度看看坐标变化，一下子就通透了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者urshuk