问题描述 #

对于 (x>0)，设 (f(x)) 是对所有整数 (m, n)，(|x - \sqrt{m^2 + 2n^2}|) 的最小值。证明：
$$\lim_{x\to \infty} f(x)= 0$$

我的困惑 #

我完全被这个问题难住了。我知道绝对值的最小值是0，但不明白当 (x) 趋近于无穷大时 (f(x)) 为什么会趋近于0。如果我把 (\sqrt{m²⁺²ⁿ2}) 看作 (x) 的某个最近值，那这就变成了 (|\infty - \infty|) 的形式，这种形式也可以取到非零的有限值啊。该怎么解决这个问题呢？

解答思路 #

要证明这个极限，核心思路是用形如 (\sqrt{m^2 + 2n^2}) 的数来任意逼近足够大的实数，也就是说，当 (x) 足够大时，总能找到整数 (m,n) 使得 (\sqrt{m^2 + 2n^2}) 离 (x) 足够近。

可以从以下几个角度入手：

• 利用丢番图逼近的思想：考虑数集 (S = { \sqrt{m^2 + 2n^2} \mid m,n \in \mathbb{Z} })，我们需要证明 (S) 在正实数集中是“渐近稠密”的——对于任意大的 (M>0) 和任意小的 (\epsilon>0)，当 (x>M) 时，总能找到 (s \in S) 使得 (|x-s|<\epsilon)。
• 转化为有理数逼近：令 (t = \frac{m}{n})（假设 (n \neq 0)），那么 (\sqrt{m^2 + 2n^2} = n\sqrt{t^2 + 2})。对于任意实数 (x>0)，我们可以写成 (x = n \cdot y)，其中 (n) 是正整数，(y \in [1,2))。现在问题转化为：对于 (y \in [1,2))，能否找到有理数 (t = \frac{m}{n}) 使得 (|\sqrt{t^2 + 2} - y|) 足够小？
  根据狄利克雷逼近定理，对于任意实数 (y) 和正整数 (N)，存在整数 (a,b)（(1 \leq b \leq N)）使得 (|b y - a| < \frac{1}{N})。我们可以用这个定理来构造合适的 (t)，使得 (\sqrt{t^2 + 2}) 逼近 (y)，进而让 (n\sqrt{t^2 + 2}) 逼近 (x = n y)。
• 构造具体的逼近序列：比如固定 (n)，让 (m) 取最接近 (x\sqrt{1 - \frac{2}{x^2}}) 的整数（当 (x) 很大时，(\sqrt{m^2 + 2n^2} \approx m\sqrt{1 + \frac{2n^2}{m2}})），或者反过来固定 (m) 调整 (n)。当 (x) 足够大时，总能找到这样的整数对 ((m,n))，使得两者的差小于任意给定的 (\epsilon)。

简单来说，关键在于：当 (x) 无穷大时，我们可以通过选择足够大的 (m) 和 (n)，让 (\sqrt{m^2 + 2n^2}) 无限靠近 (x)——因为形如 (m^2 + 2n^2) 的数会“覆盖”足够大的整数区间，它们的平方根自然就能任意逼近大的实数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Skdmg