提问内容：What is the range of following function $f(x) = 3|\sin x|$?
I tried multiplying by $3$ with the range of $\sin x$ function which is $[-1, 1]$ which gave me the outcome $[-3, 3]$, but I feel like it's not the correct range of it. How to get the range of it?

嘿，我来帮你把这个问题掰明白！你之前的思路其实只差了关键的一步——没考虑绝对值对函数值域的影响，咱们一步步来理：

首先，先单独看绝对值里的$\sin x$，它的值域确实是$[-1,1]$，但加上绝对值符号$|\sin x|$之后，情况就不一样了：绝对值会把所有负数的取值都转换成对应的正数，所以不管$x$取什么实数，$|\sin x|$的最小值是0（比如当$x=0$、$\pi$这些点时），最大值还是1（比如$x=\frac{\pi}{2}$、$\frac{3\pi}{2}$这些点），也就是说$|\sin x|$的值域是**[0,1]**。

接下来看你的函数$f(x)=3|\sin x|$，这相当于把$|\sin x|$的每一个取值都放大3倍，那值域也会跟着缩放：

• 最小值：$0 \times 3 = 0$
• 最大值：$1 \times 3 = 3$
  而且中间的所有数值都能取到，所以$f(x)$的正确值域是**[0,3]**。

你之前得到$[-3,3]$的错误点，就是没把绝对值的作用考虑进去，直接用了$\sin x$原本包含负数的范围去计算，忽略了绝对值会把所有负数结果都变成正数，所以这个函数的取值不可能是负数哦！

最后给你总结下这类带绝对值的复合三角函数值域的通用步骤：

• 第一步：先确定绝对值内部函数的取值范围
• 第二步：给内部函数加绝对值后，将范围中的负数部分取反，得到非负的取值范围
• 第三步：根据外层的系数（比如这里的3），对整个范围进行缩放
• 第四步：确认区间的端点值是否能取到，从而确定是开区间还是闭区间

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Social use 2.0