我最近卡在一道分析方向的证明题上，想请教一下各位怎么往下推进：

设函数 ( f:(-\infty,\infty)\to [0,\infty) ) 是三阶可微函数，满足：
$$\max_{x\in\mathbb R}|f'''(x)|\le 1$$
证明：
$$f''(x)+\sqrt[3]{\frac{3}{2}f(x)}\ge0,\quad \forall x\in\mathbb R$$

我目前想到的思路是用泰勒展开，在点 ( y=x ) 处对 ( f(y) ) 展开，得到：
$$f(y)=f(x) + f'(x)(y-x)+\dfrac{f''(x)(y-x)^{2}{2}+\dfrac{f'''(\xi)(y-x)}3}{6}$$
这里的 ( \xi ) 是介于 ( x ) 和 ( y ) 之间的实数。

因为 ( f(x) ) 在全体实数上非负，而且三阶导数的绝对值最大值不超过1，所以我把三阶导数的项做了放缩，得到：
$$0\le f(x)+f'(x)(y-x)+\frac{f''(x)(y-x)^{2}{2}+\frac{(y-x)}3}{6}$$

可是到这一步之后，我就不知道该怎么继续处理这个不等式，来推导出要证明的结论了。有没有大佬能给点提示或者往下推导的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Đạt Nguyễn