几天前我在Art of Problem Solving网站上发现了一个有意思的问题，内容如下：

对于互质的正奇数$p$和$q$，以下不等式成立：
$$ \sum_{m=1}^{p} \sum_{n=1}^{q} \frac{2}{\cos(\frac{2m\pi}{p})+\cos(\frac{2n\pi}{q})} \le pq(|p-q|+1). $$

最神奇的是这个不等式在一些非平凡的例子里能取到等号，比如$(p,q)=(23,31), (29,31)$（我用WolframAlpha验证过），但对另一些$(p,q)$来说这个上界就松得很。这说明粗暴的估计方法肯定行不通，背后说不定藏着某个恒等式。而这些奇怪的等号情况也暗示它和质数有关联。

我试过把$m$和$p-m$配对、$n$和$q-n$配对，看起来可行但没什么实际用处。我还试着固定$m$直接计算$\sum_{n=1}^{q} \frac{2}{\cos(\frac{2m\pi}{p})+\cos(\frac{2n\pi}{q})}$，但实在不好处理。另外余弦项可能和循环矩阵的特征值有关，但我搞不懂$\cos(\frac{2m\pi}{p})+\cos(\frac{2n\pi}{q})$该怎么解读。

欢迎大家提供任何思路或见解。

编辑补充：我对所有满足$p \le q<50$的奇数做了数值计算（没要求$\gcd(p,q)=1$）。排除$p=q$或$p=1$的平凡情况后，能取到等号的$(p,q)$对如下：
$$ \color{red}{(3,7)},(5,7),\color{red}{(5,11)},\color{red}{(7,15)},(9,11),(9,13),\color{red}{(9,19)},(11,15),\color{red}{(11,23)},(13,15),(13,19),\color{red}{(13,27)},\color{red}{(15,31)},(17,19),(17,21),(17,23),(17,25),\color{red}{(17,35)},(19,23),\color{red}{(19,39)},(21,23),(21,31),\color{red}{(21,43)},(23,31),\color{red}{(23,47)},(25,27),(25,29),(25,31),(25,37),(27,31),(29,31),(29,35),(29,39),(29,43),(33,35),(33,37),(33,41),(33,49),(35,39),(35,47),(37,39),(37,43),(39,47),(41,43),(41,45),(41,47),(43,47),(45,47). $$

看起来要取等号的话，$q \le 2p+1$必须成立，而且当$q=2p+1$时确实都能取到等号，但我还没发现其他规律。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Terry