你提到的这个问题其实是初学极限定义时特别容易困惑的点，咱们一步步把它捋清楚：

首先先回顾一下标准的极限形式化定义：
$$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in \mathbb{R})(0 < \mid x - x_0 \mid < \delta \implies \mid f(x) - L \mid < \epsilon)$$
当这个命题成立时，我们就说 $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$。

你说得非常对，这个标准定义看起来好像默认了函数在 $\mathbb{R} - {x_0}$ 上处处有定义——如果函数在某个异于 $x_0$ 的点 $x_1$ 处没定义，那 $\mid f(x_1) - L \mid < \epsilon$ 这个表达式根本没有意义，我们没法判断它的真假，自然也就没法确定包含 $x_1$ 的 $\delta$ 是否符合要求。

你自己想到的两个修正方向其实都戳中了问题的核心，咱们分别聊聊：

• 方案一：限制定义域到函数的有效定义区间
  把定义改成针对函数的定义域 $A \subseteq \mathbb{R}$（即 $f:A \to\mathbb{R}$），调整后的定义是：
  $$(\forall \epsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)(0 < \mid x - x_0 \mid < \delta \implies \mid f(x) - L \mid < \epsilon)$$
  但这个方案有个明显的漏洞：如果函数只在 $x_0$ 这一个点有定义，那这个蕴含式会因为前件永远为假而成为空真命题（vacuously true），这样极限就会被判定为存在，但显然这种情况我们并不认为极限应该存在。

• 方案二：将未定义处的表达式视为假
  另一个更自然的思路是，当 $f(x)$ 在某个点没定义时，直接把 $\mid f(x) - L \mid < \epsilon$ 当作假命题。这个处理方式的推论是：要让 $x \to x_0$ 时的极限存在，函数必须在包含 $x_0$ 的某个开区间上有定义（除了 $x_0$ 本身）。不过你提到和别人的争论——对方认为即使函数只在 $x_0$ 的一侧有定义，极限也应该存在，这其实涉及到单侧极限和双侧极限的区别。

其实现在数学界通用的解决方法是结合定义域的聚点概念来完善定义：
我们要求 $x_0$ 是函数定义域 $A$ 的聚点（即 $x_0$ 的任意去心邻域内都包含 $A$ 中的点），然后再使用你第一个方案里的定义域限制版定义。这样一来：

• 如果函数只在 $x_0$ 单点有定义，$x_0$ 不是定义域的聚点，直接就不讨论该点的极限；
• 如果函数只在 $x_0$ 的一侧有定义（比如定义域是 $(x_0, +\infty)$），那 $x_0$ 是定义域的单侧聚点，这时候我们讨论的就是右极限 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$；只有当 $x_0$ 是定义域的双侧聚点（即左右两侧都有定义域内的点）时，我们才讨论双侧极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$。

这样既解决了未定义点的逻辑问题，也清晰区分了单侧和双侧极限的适用场景，完美覆盖了你提到的所有情况。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zlaaemi