这个问题其实是数论里经典的格点计数问题，我来给你拆解一下，从精确计算和近似估计两个角度说清楚：

一、精确计算的思路 #

要精确算出满足$\left|\mathbf{v}\right| \leq n$的整数向量数量，本质上是统计所有d元整数组$(v_1, v_2, ..., v_d)$满足$v_1^2 + v_2^2 + ... + v_d^2 \leq n^2$——把范数平方后计算更方便，还能避免开根号的麻烦。

1. 小n的组合枚举法

像你提到的n=1、n=2这种小数值，我们可以按非零分量的个数分类枚举：

• 零向量：永远算1个；
• k个非零分量的向量：先从d个分量里选k个位置，再枚举这k个分量的所有可能整数组合（注意正负号），要求它们的平方和≤n²。

举个n=2的例子：

• 0个非零分量：1个（零向量）；
• 1个非零分量：每个分量可选±1、±2，共4种取值，d个位置，总计$4d$个；
• 2个非零分量：选2个位置，每个分量非零且平方和≤4，符合条件的非零整数对只有$(±1,±1)$（平方和为2），共4种符号组合，总计$4 \cdot \binom{d}{2}$个；
• 3个非零分量：每个分量取±1，平方和为3≤4，共$2^3=8$种符号组合，选3个位置，总计$8 \cdot \binom{d}{3}$个；
• 4个非零分量：每个分量取±1，平方和为4≤4，共$2^4=16$种符号组合，选4个位置，总计$16 \cdot \binom{d}{4}$个；
• 5个及以上非零分量：每个分量至少±1，平方和≥5>4，没有符合条件的向量。

把这些加起来就是n=2时的总数量，不过这种枚举法只适合n很小的情况，n一大就会变得无比繁琐。

2. 一般n的精确表达式

从数论角度，这个数量可以用平方和表示数来写：记$r_d(m)$为满足$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_d^2 = m$的整数解的数量，那么满足$\left|\mathbf{v}\right| \leq n$的向量总数就是：
$$
N(d,n) = \sum_{m=0}^{n2} r_d(m)
$$
其中$r_d(0)=1$（只有零向量），$r_d(m)$有成熟的数论公式，比如利用雅可比θ函数或者除数函数的卷积，但这个公式计算起来并不直观，尤其是d和m都比较大的时候，实际操作价值不高。

二、大n的近似估计 #

当n很大时，我们可以用几何近似的思路：满足条件的整数向量其实就是d维球内的格点，而格点的数量和d维球的体积是渐近等价的。

d维球的体积公式是：
$$
V_d(n) = \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2 +1)} n^d
$$
其中$\Gamma$是伽马函数（对于整数k，$\Gamma(k+1)=k!$，$\Gamma(k+1/2)=(2k)!\sqrt{\pi}/(4^k k!)$）。

换句话说，当n趋向于无穷大时：
$$
N(d,n) \sim \frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2 +1)} n^d
$$
而且误差是$O(n^{d-1})$，也就是当n足够大时，球的体积就是主导项，误差比主导项小一个量级。

比如：

• d=2时，就是平面圆内的格点数量，渐近于$\pi n^2$，误差是O(n)；
• d=3时，渐近于$\frac{4}{3}\pi n^3$（三维球体积），误差是O(n²)。

三、实用的计算技巧 #

如果要实际计算给定d和n的精确数量，两种方法比较靠谱：

1. 动态规划递推：从1维开始递推，1维时$N(1,n)=2n+1$（从-n到n的所有整数）；d维时，对每个可能的第d分量x（从-n到n），计算最大的整数k满足$k^2 \leq n^2 -x^{2$（即$k=\lfloor\sqrt{n}2 -x^2}\rfloor$），然后累加d-1维时满足范数≤k的向量数量，也就是：
   $$
   N(d,n) = \sum_{x=-n}^n N(d-1, \lfloor\sqrt{n^2 -x^2}\rfloor)
   $$
   这种方法比直接枚举所有d维向量高效得多。
2. 计算机代数工具辅助：比如用Python的sympy库、Mathematica等工具，直接实现动态规划逻辑，或者调用内置的格点计数函数，避免手动计算的繁琐。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user239753