我在笔记里看到了这个证明，它是更一般秩定理的一个特例：

定理（微分单射的秩定理）：设$M$是$m$维光滑流形，$N$是$n$维光滑流形，$F: M \to N$是光滑映射，$p \in M$。若$dF_p$是单射，则存在$M$上围绕$p$的图$(U, \varphi)$和$N$上围绕$F(p)$的图$(V, \psi)$，满足$F(U) \subseteq V$，且对所有$x \in \varphi(U)$，有：
$$\psi\circ F \circ \varphi^{−1}(x) = (x, 0_{n−m})$$

证明
我们先证明特殊情形：假设$M$是$\mathbb{R}^{m$的开子集，$N$是$\mathbb{R}}n$的开子集，$p = 0_m$且$F(p) = 0_n$。借助合适的图，我们可以推广到一般情形。

• 若$dF_p$是单射，则$m \le n$。定义$Q: M \to \mathbb{R}^m$和$R: M \to \mathbb{R}^{n−m}$，使得对任意$x \in M$，$F(x) = (Q(x), R(x))$。
• 由于$DF(p)$是单射，其矩阵存在一个$m \times m$的可逆子矩阵。我们可以通过交换坐标，确保$DQ(p)$就是这个可逆矩阵；接下来我们默认这一点。
• 因为$DQ(p)$可逆，根据逆函数定理，存在$p$的邻域$U$和$Q(p)$的邻域$\tilde{V}$，使得$\varphi := Q|_U : U \to \tilde{V}$是微分同胚。
• 定义$V := \tilde{V} \times \mathbb{R}^{n−m}$，这是$F(p)=0_n$的开邻域（因为$Q(p)=0_m$）。
• 定义映射$\psi:V \to \mathbb{R}^n$：$\psi(v; w) = (v, w − R \circ \varphi^{−1}(v))$，其中$v \in \tilde{V}$，$w \in \mathbb{R}^{n−m}$。
• 这是一个到其像集的微分同胚，其逆映射为：$\psi^{−1}(s, t) = (s, t + R\circ\varphi^{−1}(s))$，其中$s \in \mathbb{R}^m$，$t \in \mathbb{R}^{n−m}$且$(s, t) \in \psi(V )$。
• 对所有$x \in \varphi(U)$，验证可得：
  $$\psi\circ F \circ \varphi^{−1}(x) =\psi(x,R\circ\varphi^{-1}(x))= (x, 0_{n−m}) \tag{*}$$

我的疑问

1. 怎么能预先想到要这样定义$\psi$呢？它应该是$N$上围绕$F(p)$的图，为什么会是这个形式？
2. 如何证明一般情形？也就是去掉这些假设：$M$是$\mathbb{R}^{m$的开子集，$N$是$\mathbb{R}}n$的开子集，$p=0_m$且$F(p)=0_n$，但仍保持微分单射的条件？我在写证明的时候遇到了困难。另外，既然上面的证明没有处理一般流形，为什么还要提到图呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者some_math_guy