已知$P = 2^{|sinx|} + 2^{|cosx|}$，求$P_{max}$和$P_{min}$。

正确解法：换元+导数分析最值 #

我们可以通过换元简化函数，再用导数判断单调性来锁定最值：

• 令$t = |sinx|$，由于$|sinx|$的取值范围是$[0,1]$，所以$t \in [0,1]$。此时$|cosx| = \sqrt{1 - t^2}$，函数转化为：
  $$P(t) = 2^t + 2^\sqrt{1 - t^2}$$
• 对$P(t)$求导找临界点：
  解方程$P'(t) = 0$，可得$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• 分析单调性：
  • 当$t \in [0, \frac{1}{\sqrt{2}})$时，$P'(t) > 0$，函数单调递增；
  • 当$t \in (\frac{1}{\sqrt{2}}, 1]$时，$P'(t) < 0$，函数单调递减。
• 计算关键点的函数值：
  • $P(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}} + 1}$（这是函数的极大值，同时也是最大值）
  • $P(0) = P(1) = 2^0 + 2^1 = 3$（这是函数的最小值）

最终结论：$P_{max} = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}} + 1}$，$P_{min} = 3$

排查AM-GM推导中的错误 #

你最初用AM-GM尝试时得到了错误的最小值结论，问题出在多个不等式连用时，等号成立的条件无法同时满足，我们一步步拆解：

你推导的步骤是：
$$P = 2^{|sinx|} + 2^{|cosx|} \geq 2\sqrt{2^{|sinx| + |cosx|}} \geq 2\sqrt{2^{\sqrt2sin(\theta + \frac\pi4)}} \geq 2\sqrt{2}$$

我们逐个确认等号成立的条件：

1. 第一个AM-GM不等式（$a + b \geq 2\sqrt{ab}$）的等号成立条件是$2^{|sinx|} = 2^{|cosx|}$，也就是$|sinx| = |cosx|$，对应$x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$（$k$为整数）。
2. 再看$|sinx| + |cosx| = \sqrt{2}sin(\theta + \frac{\pi}{4})$，其中$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，所以$\theta + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$，$sin(\theta + \frac{\pi}{4})$的取值范围是$[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$，因此$|sinx| + |cosx|$的取值范围是$[1, \sqrt{2}]$。当$|sinx| + |cosx|$取最小值1时，对应$|sinx|=0$、$|cosx|=1$（或反过来），这时候第一个AM-GM的等号完全不成立（因为$2^0 \neq 2^1$）。

总结来说，错误的核心是：你把多个不等式的下限直接连起来当作$P$的最小值，但忽略了这些不等式的等号成立条件是互斥的——第一个AM-GM等号成立时，$|sinx| + |cosx|$取最大值$\sqrt{2}$；而$|sinx| + |cosx|$取最小值1时，第一个AM-GM的等号根本取不到。因此不能直接用这种连推的方式得到$P$的最小值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ten_to_tenth