嘿，我来帮你理清楚这个推导过程，你已经走对了第一步，只是在特征线的参数化和初始条件结合上需要再往前推一步～

我们一步步来拆解：

1. 回顾特征线方程与积分结果 #

给定非均匀输运方程：
$$ u_t + (x^2 - 1) u_x = 0 $$
特征线满足的ODE是：
$$ \frac{dx}{dt} = x^2 - 1 $$
你已经通过分离变量积分得到：
$$ \frac{1}{2} \log \left( \frac{x(t)-1}{x(t)+1} \right) = t + k $$
这里的$k$是每条特征线对应的常数，我们需要用初始条件来把$k$和初始位置关联起来。

2. 用初始位置$x_0$确定常数$k$ #

假设在$t=0$时，特征线上的位置是$x_0$（即$x(0)=x_0$），代入$t=0$到上面的等式：
$$ \frac{1}{2} \log \left( \frac{x_0 - 1}{x_0 + 1} \right) = k $$
把这个$k$代回原积分结果，得到：
$$ \frac{1}{2} \log \left( \frac{x(t)-1}{x(t)+1} \right) = t + \frac{1}{2} \log \left( \frac{x_0 - 1}{x_0 + 1} \right) $$

3. 整理等式解出初始位置$x_0$ #

我们的目标是把$x_0$用当前的$x$和$t$表示出来（因为输运方程的解在特征线上为常数，即$u(t,x)=u(0,x_0)=f(x_0)$）。

首先两边乘以2消去系数：
$$ \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = 2t + \log \left( \frac{x_0 - 1}{x_0 + 1} \right) $$
移项后利用对数的商性质：
$$ \log \left( \frac{(x-1)/(x+1)}{(x_0-1)/(x_0+1)} \right) = 2t $$
两边取指数：
$$ \frac{(x-1)(x_0+1)}{(x+1)(x_0-1)} = e^{2t} $$
为了解$x_0$，交叉相乘展开：
$$ (x-1)(x_0+1) = e^{2t}(x+1)(x_0-1) $$
展开左右两边：
$$ x x_0 + x - x_0 - 1 = e^{2t}x x_0 - e^{2t}x + e^{2t}x_0 - e^{2t} $$
把所有含$x_0$的项移到左边，不含$x_0$的项移到右边：
$$ x x_0 - x_0 - e^{2t}x x_0 - e^{2t}x_0 = -e^{2t}x - e^{2t} - x + 1 $$
提取左边的$x_0$因子，右边提取公因式：
$$ x_0 \left[ x(1 - e^{2t}) - (1 + e^{2t}) \right] = -(1 + e^{2t})x + (1 - e^{2t}) $$
为了匹配题目中解的形式，我们整理分子分母为含$e^{-2t}$的形式，最终可以得到：
$$ x_0 = \frac{x + 1 + (x - 1)e^{-2t}}{x + 1 - (x - 1)e^{-2t}} $$

4. 代入初始条件得到最终解 #

输运方程的解满足$u(t,x) = u(0,x_0) = f(x_0)$，而初始条件是$f(x) = e^{-x2}$，所以代入$x_0$的表达式：
$$ u(t, x) = \exp\left( -\left(\frac{x + 1 + (x - 1) e^{-2t}}{x + 1 - (x - 1) e^{{-2t}}\right)}2 \right) $$
这就完全匹配题目给出的解了！

你之前的困惑点在于误以为解是$u(x,t) = f(\beta(x)-t)$，但实际上这里的核心是找到初始位置$x_0$与当前$(t,x)$的映射关系，再利用特征线上解的常数性来推导，而不是直接代入$\beta(x)-t$哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomer