最近几天我一直在研究一个猜想，希望有人能帮忙判断它是否成立。

问题描述如下：给定一组从2到第n个质数$P_n$的不同升序质数集合，求最长的连续相邻合数串的长度——这里的合数串需要满足：串中的每个合数至少是集合中某一个质数的倍数（不需要只包含集合内的因子，只要有一个共同因子就行）。

举个例子，对于集合{2, 3}，符合条件的合数有4、6、8、9、10、12……其中第一个连续的合数串是8、9、10，长度为3；而第一个不依赖这个集合的合数是25，也就是下一个质数的平方。

我提出的假设是：这个最长串的长度必然落在范围$2(P_{n-1}) - 1$到$2(P_n - 2) - 1$之间，具体满足不等式：
$$2(P_{n-1}) - 1 ≤ x < 2(P_n – 2) - 1$$
其中$P_{n-1}$是集合中倒数第二个质数。当集合中最大的两个质数的间隔为2时，最长串的长度可以精确计算出来。

我用程序验证了所有包含到29的质数集合，结果都完美符合这个范围，大多数结果都等于范围的下限$2(P_{n-1}) - 1$，具体数据如下：

• {2}：最长串长度为1
• {2, 3}：最长串长度为3
• {2, 3, 5}：最长串长度为5
• {2, 3, 5, 7}：最长串长度为9
• {2, 3, 5, 7, 11}：最长串长度为13
• {2, 3, 5, 7, 11, 13}：最长串长度为21
• {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}：最长串长度为25
• {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}：最长串长度为33
• {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}：最长串长度为39
• {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}：最长串长度为45

这些结果是通过遍历1到第n个素数阶乘的所有数，记录观察到的最长串得到的。比如最后一个集合对应的最长串出现在417086648到417086692之间，长度为45。

此外，我还找到了一种构造最优合数串的方法，适用于最大两个质数间隔为2的集合：

1. 画一条数轴，中间的点作为“零点”，这个点的因子是集合中除了最大两个质数之外的所有质数；
2. 零点左右紧邻的位置作为“1位”，分别对应集合中最大的两个质数；
3. 从2开始向外计数，直到比最小的那个“1位”小1，给每个位置分配对应的质因数，这样就能构造出最长的连续合数串。

如果集合中最大两个质数的间隔大于2，最长串的长度就会落在之前提到的范围内——因为最优构造模式依赖两个最大质数差为2，要是间隔更大，用类似模式构造的话会和零点的因子分布冲突，无法得到更长的串。

我的猜想核心是：上述构造方法得到的串就是给定集合下能达到的最长连续合数串。要推翻这个猜想，只需要找到一个依赖集合${2, 3, ..., P_n}$的连续合数串，其长度超过$2(P_n – 2) - 1$即可。

我实在想不出任何能突破这个长度限制的合数串构造方式，希望有人能帮忙证明或推翻这个猜想。

另外，如果这个猜想能被证明，我认为它对素数间隙的上界有一定意义：对于任意质数$P_n$的平方以下的数，要么是1、质数，要么是依赖所有小于$P_n$的质数集合的合数，而这个猜想能给出这种限制下最长素数间隙的长度。甚至可能用来证明Legendre猜想——因为$n^2$和$(n+1)2$之间的最大素数间隙等于$2(P - 2)$（其中P是小于n的最近质数），这个值明显小于$n^2$和$(n+1)2$之间的间隔$2n + 1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michael Franklin