你理解的方向是对的，但咱们可以把这个逻辑补得更严谨、更通用一点，帮你彻底搞明白这个结论的来龙去脉~

首先明确前提：这里的$p$默认是奇素数（这是这类二次同余问题的常见讨论场景），且$a,b$都不被$p$整除，所以$a,b$在模$p$的乘法群里都是可逆元（存在模$p$的逆元）。

我们来拆解原文里的结论：每个非零模$p$剩余类（即$1,2,...,p-1 \pmod{p}$）中，形如$ax^2$的元素最多有2个，背后的核心是二次同余方程的解的数量规律：

1. 对于任意非零剩余类$r \pmod{p}$，我们考虑方程$ax^2 \equiv r \pmod{p}$。因为$a$不被$p$整除，我们可以给方程两边同时乘以$a$的模$p$逆元$a^{-1}$，把方程转化为：
   $$x^2 \equiv a^{-1}r \pmod{p}$$
2. 现在问题变成了：二次同余方程$x^2 \equiv s \pmod{p}$（其中$s = a^{-1}r \neq 0 \pmod{p}$）有多少个解？
   • 如果$s$是模$p$的二次剩余（即存在某个整数$k$使得$k^2 \equiv s \pmod{p}$），那么这个方程恰好有两个不同的解：$k$和$p-k$（因为$p$是奇素数，$k \neq p-k$，且$(p-k)^2 = k^2 \equiv s \pmod{p}$）。
   • 如果$s$是模$p$的二次非剩余（即不存在这样的$k$），那么这个方程无解。
3. 再回到原方程$ax^2 \equiv r \pmod{p}$：
   • 当$s=a^{{-1}r$是二次剩余时，方程有两个解$x_1$和$x_2=p-x_1$，对应的$ax_1}2$和$ax_2^2$都等于$r \pmod{p}$——这时候剩余类$r$里就有2个形如$ax^2$的元素。
   • 当$s=a^{{-1}r$是二次非剩余时，方程无解，剩余类$r$里就没有形如$ax}2$的元素。

所以不管是哪种情况，每个非零剩余类中，形如$ax^2$的元素最多2个（要么0个，要么2个）。

你举的例子其实是$a \equiv 1 \pmod{p}$且$r=1 \pmod{p}$的特殊情况，这个例子本身是对的，但要注意这只是其中一种场景。比如如果$a=2$，$p=5$，剩余类$2 \pmod{5}$中，$21^2=2$和$2*42=216=32 \equiv 2 \pmod{5}$，这就是两个属于该剩余类的$ax^2$型元素，逻辑和你的例子一致，但$a$不是1 mod p。

同理，对于形如$c-by^2$的元素，因为$b$不被$p$整除，推导逻辑完全一样：每个非零剩余类中这类元素最多2个。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1206497