这个问题值得好好拆解一下，我们先从矩阵结构入手，再通过具体反例来给出结论。

首先，先分析原矩阵 ( S ) 的结构：由于当 ( |i-j| ) 为奇数时 ( S_{ij}=0 )，我们可以把矩阵的行和列按奇偶索引分组——将所有奇数行/列放在一起，偶数行/列放在一起，此时 ( S ) 会转化为分块对角矩阵：

S = [ A  0 ]
    [ 0  B ]

其中 ( A ) 是由 ( S ) 的奇行奇列元素组成的子矩阵，( B ) 是偶行偶列元素组成的子矩阵。因为 ( S ) 可逆，所以 ( A ) 和 ( B ) 也必须是可逆的（分块对角矩阵可逆的充要条件是每个对角块都可逆）。

此时问题可以转化为：( A ) 是一个所有元素均非零的对称可逆矩阵（因为原 ( S ) 中奇行奇列的 ( |i-j| ) 为偶数，所以 ( A ) 的每个元素都不为0），那 ( A ) 的逆矩阵是否也所有元素非零？如果存在这样的 ( A )，其逆矩阵含有零元素，那对应的 ( S^{-1} ) 就会违反原性质。

接下来我们构造一个具体的反例：
取 ( A ) 为3阶全非零对称可逆矩阵：

A = [ 1  1  1 ]
    [ 1  1  2 ]
    [ 1  2  1 ]

计算行列式：( \det(A) = 1*(11 - 22) - 1*(11 - 21) + 1*(12 - 11) = -3 + 1 + 1 = -1 \neq 0 )，确实可逆。

再计算它的逆矩阵：根据伴随矩阵法，逆矩阵的元素是伴随矩阵元素除以行列式。我们看伴随矩阵中对应 ( A(2,2) ) 的代数余子式：
( A_{22} = (-1)^{2+2} * \det\left(\begin{bmatrix}1&1\1&1\end{bmatrix}\right) = 1*(11 -11) = 0 )
因此逆矩阵的 ( (2,2) ) 元素为 ( 0 / (-1) = 0 )。

现在把 ( A ) 扩展为原矩阵 ( S )：比如取 ( B ) 为2阶全非零对称可逆矩阵（比如 ( \begin{bmatrix}1&1\1&2\end{bmatrix} )，行列式为1≠0），那么 ( S ) 就是一个5阶分块对角矩阵，完全满足原问题的条件：所有 ( |i-j| ) 为奇数的位置都是0，( |i-j| ) 为偶数的位置都不为0。但它的逆矩阵 ( S^{-1} ) 是：

S⁻¹ = [ A⁻¹  0 ]
      [ 0    B⁻¹ ]

其中 ( A^{-1} ) 的 ( (2,2) ) 元素是0，对应原 ( S^{-1} ) 的第3行第3列（因为 ( A ) 的第2行对应 ( S ) 的第3行，( A ) 的第2列对应 ( S ) 的第3列），这里 ( |3-3|=0 ) 是偶数，但元素为0，直接违反了原性质。

所以结论是：不一定，存在满足条件的可逆对称矩阵 ( S )，它的逆矩阵并不保留原有的零元素分布特性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yujian