嘿，这个结论是成立的，咱们用闭包的核心定义就能把它说清楚，正好解决你卡在$\overline{A}\setminus A$那部分的疑惑~

首先先回忆一下拓扑空间里集合闭包的一个关键等价定义：

一个点$x \in X$属于$\overline{A}$（$A$的闭包），当且仅当每一个包含$x$的开集都与$A$相交（也就是不存在包含$x$的开集能完全避开$A$）。

现在看你的条件：$V$是开集，且$V \subseteq X \setminus A$——这意味着$V$和$A$是完全不交的（$V \cap A = \emptyset$）。

咱们先从你提到的等价命题$\overline{A} \subseteq X \setminus V$来推导：
假设$x \in \overline{A}$，根据闭包的定义，所有包含$x$的开集都得和$A$相交。但如果$x$在$V$里的话，$V$是包含$x$的开集，可咱们已知$V \cap A = \emptyset$，这就和闭包的定义矛盾了！所以$x$肯定不在$V$里，也就是$x \in X \setminus V$。既然对所有$\overline{A}$里的点都成立，那自然$\overline{A} \subseteq X \setminus V$，两边取补集（集合包含关系取补后反向），就得到$V \subseteq X \setminus \overline{A}$。

再回到你纠结的$x \in \overline{A} \setminus A$的情况：这些点是$A$的边界点，它们本身不在$A$里，但每个邻域都得碰到$A$。而$V$是开集且和$A$完全不搭边，那这些边界点肯定不能在$V$里——不然$V$作为它们的开邻域，就没碰到$A$，违反了边界点属于闭包的性质。

总结一下：正是因为$V$是开集，我们才能用闭包的邻域定义来推导，把闭包里的所有点（包括边界点）都排除在$V$之外，从而得到你要的包含关系。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gabriele