我最近在研究三角化范畴的各类定义，发现这些定义虽然“已知”在附加一些假设后等价，但目前还没人能构造出弱三角化范畴而非强三角化范畴的例子，这就导致定义的多样性有点棘手。我参考了May的一篇相关论文，里面提到：结合基本的TR1)和TR2)公理（三角形的旋转、存在性，以及三角形的同构不变性），再加上某个断言，就能推出弱形式的经典八面体公理。

May提到的断言如下：

为了帮助推导，May给出了如下提示：

我照着这个提示一步步推导，几乎就成功了——差一点就能完成证明，但最后有个小细节怎么都绕不过去。我现在在纠结：是May在这里有个疏漏，还是我自己漏掉了某个简单的最后步骤？这就是我的核心疑问。如果有人知道这个等价性的准确参考文献，麻烦告诉我一下。另外我注意到Neeman在映射锥和“好”态射的相关工作中提到，更强版本的4x4公理与八面体公理等价，但May似乎认为用更弱的条件就足够了。

先明确一下我的设定：
假设我们有可合成的态射 $X\overset{f}{\to}Y\overset{g}{\to}Z$，记它们的复合为 $h$。将 $f,g,h$ 分别延拓为好三角：
$$\begin{align}
&X\overset{f}{\to}Y\overset{f'}{\to}U\overset{f''}{\to}\Sigma X\
&Y\overset{g}{\to}Z\overset{g'}{\to}W\overset{g''}{\to}\Sigma Y\
&X\overset{h}{\to}Z\overset{h'}{\to}V\overset{h''}{\to}\Sigma X
\end{align}$$

弱形式的八面体公理要求我们找到填充态射 $\alpha,\beta$，使得 $U\overset{\exists \alpha}{\to}V\overset{\exists\beta}{\to}W\overset{\Sigma(f')\circ g''}{\to}\Sigma U$ 成为好三角，并且满足以下交换性条件：

$$f''=h''\circ\alpha,,g'=\beta\circ h',,\alpha\circ f'=h'\circ g,,g''\circ\beta=\Sigma(f)\circ h''$$

现在来说我遇到的具体问题：
按照May的提示，我能找到态射 $\alpha,\alpha':U\to V,\beta,\beta':V\to W$，满足以下这些条件：

• 三角形 $U\to V\to W\overset{\Sigma(f)\circ h''}{\to}\Sigma U$ 是好三角；
• $f''=h''\circ\alpha=h''\circ\alpha',\quad g'=\beta\circ h'=\beta'\circ h'$；
• 要么 $\alpha\circ f'=h'\circ g$ 成立，要么 $g''\circ\beta'=\Sigma(f)\circ h''$ 成立，但我始终没法找到同一对 $(\alpha,\beta)$ 或者 $(\alpha',\beta')$，让这两个式子同时成立。

另外我还找到了一个自同构 $\gamma:V\cong V$，满足 $\alpha'=\gamma\circ\alpha$ 且 $\beta'\circ\gamma=\beta$，但同构不等于相等啊！把 $\gamma$ 引入到图里的话，很可能会打乱已经给定的其他态射，所以这招好像行不通。

现在我就卡在这个最后一步了，有没有人能帮我理清这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者FShrike