嘿，这个问题其实不用非得钻复杂的测度论牛角尖，换个直观思路就很清晰啦～

先把已知条件再理一遍：

• 随机变量X和Y满足P(X ≤ Y) = 1，也就是X几乎不可能大于Y；
• 同时P(X = Y) < 1，等价于P(X < Y) > 0，说明X严格小于Y的情况是有实际概率发生的。

我们可以构造一个新随机变量来简化问题：令 ( Z = Y - X )。根据已知条件能得到两个关键结论：

1. ( Z \geq 0 ) 是几乎必然成立的（因为P(X≤Y)=1，也就是P(Z≥0)=1）；
2. ( P(Z > 0) = P(X < Y) > 0 )，也就是Z取正数的概率大于0。

接下来我们只需要证明 ( E[Z] > 0 )，就能直接推出 ( E[Y] - E[X] > 0 )，也就是 ( E[X] < E[Y] ) 了。

具体怎么证 ( E[Z] > 0 ) 呢？我们把Z的期望拆成两部分：
[
E[Z] = E\left[ Z \cdot I(Z=0) \right] + E\left[ Z \cdot I(Z>0) \right]
]
这里的 ( I(A) ) 是指示函数，意思是当事件A发生时取1，不发生时取0。

• 第一部分 ( E\left[ Z \cdot I(Z=0) \right] )：当Z=0时，Z乘以1还是0，所以这部分的期望就是0；
• 第二部分 ( E\left[ Z \cdot I(Z>0) \right] )：因为Z>0的时候，Z本身是正数，而且我们知道P(Z>0)>0。这里可以再深入想一步：既然Z取正数的概率大于0，那一定存在某个正数 ( \varepsilon > 0 )，使得 ( P(Z \geq \varepsilon) > 0 )（如果不存在这样的ε，那意味着Z>0的概率为0，和已知条件矛盾）。所以这部分的期望至少是 ( \varepsilon \cdot P(Z \geq \varepsilon) )，这个值肯定是大于0的。

把两部分加起来，( E[Z] = 0 + \text{正数} > 0 )，所以 ( E[Y] - E[X] > 0 )，也就是 ( E[X] < E[Y] )，完美得证～

再聊聊你之前的尝试：你用积分拆分的思路是没问题的，但可能钻进样本空间积分的细节里卡壳了，换成构造Z的方式，用期望的基本性质就能搞定，不用太纠结测度论的复杂内容哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ADAM