这个问题挺有意思的，我们可以从数论角度一步步拆解分析，来确认是否真的只有这四个正整数解。

首先注意到：n和n-1是连续整数，所以它们互质（连续整数的最大公约数必然是1）。题目要求$\frac{n(n-1)}{10}$是素数幂，等价于$n(n-1)=10p^k$，其中p是素数，k是正整数。

因为n和n-1互质，10的素因子（2和5）只能全部分配给其中一个数，或者分别分配给两个数（互质的数不能共享素因子）。我们分四种情况逐一讨论：

情况1：2和5都属于n #

即$n=10a$，那么n-1=10a-1，代入得$10a(10a-1)=10p^{k$，约去10后得到$a(10a-1)=p}k$。
由于a和10a-1互质（假设d是它们的公约数，d必然整除$10a-1 - 10×a = -1$，所以gcd(a,10a-1)=1），因此a和10a-1都必须是素数幂：

• 当a=1时，10×1-1=9=3²，乘积$1×9=3²$是素数幂，对应n=10，是你找到的解之一；
• 当a>1时，a和10a-1是两个不同的素数幂（且都大于1），它们的乘积会包含至少两个不同的素因子，不可能是素数幂。因此这种情况只有n=10这一个解。

情况2：2和5都属于n-1 #

即$n-1=10a$，n=10a+1，代入得$(10a+1)×10a=10p^{k$，约去10后得到$a(10a+1)=p}k$。
同理，a和10a+1互质，两者都必须是素数幂：

• 当a=1时，10×1+1=11（素数），乘积$1×11=11$是素数幂，对应n=11，是你找到的解之一；
• 当a>1时，两个大于1的互质素数幂乘积必然包含多个素因子，不符合要求。因此这种情况只有n=11这一个解。

情况3：2属于n，5属于n-1 #

即$n=2a$，n-1=5b（a和b互质），代入得$2a×5b=10p^{k$，约去10后得到$ab=p}k$。由于a和b互质，两者都必须是素数幂。
同时，连续整数的差为1，可得方程$2a - 5b = 1$，这是线性丢番图方程，通解为：
$a=3+5t$，$b=1+2t$（t为整数）
仅考虑正整数解（t≥0）：

• t=0时，a=3，b=1，乘积$3×1=3$是素数幂，对应n=2×3=6，是你找到的解之一；
• t≥1时，a=3+5t≥8，b=1+2t≥3，两者都是大于1的互质数，乘积会包含多个素因子，不符合素数幂要求；
• 负整数t会得到负的n值，比如t=-1时n=-4，虽然$\frac{(-4)(-5)}{10}=2$是素数幂，但通常这类问题默认讨论正整数，故可忽略。

情况4：5属于n，2属于n-1 #

即$n=5a$，n-1=2b（a和b互质），代入得$5a×2b=10p^{k$，约去10后得到$ab=p}k$。同理，a和b都必须是素数幂。
由连续整数差为1，可得方程$5a - 2b = 1$，通解为：
$a=1+2t$，$b=2+5t$（t为整数）
仅考虑正整数解（t≥0）：

• t=0时，a=1，b=2，乘积$1×2=2$是素数幂，对应n=5×1=5，是你找到的解之一；
• t≥1时，a=1+2t≥3，b=2+5t≥7，两者都是大于1的互质数，乘积包含多个素因子，不符合要求；
• 负整数t会得到负的n值，比如t=-1时n=-5，同样属于非正整数解，可忽略。

结论 #

所有正整数解就是你找到的5、6、10、11，不存在更大的正整数解；若考虑负整数，还有-4、-5两个解，但通常这类数论问题默认讨论正整数范围。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sebi19