我在学习拟周期（注：Apostol的教材里将其称为“诱导模”，Montgomery的教材第九章也有相关内容）的性质时，碰到了一个卡壳的点：两个拟周期的最大公约数也是拟周期（对应某教材第25页的定义3.1.1和命题3.1.3）。整个证明逻辑大部分都能理顺，唯独关于中国剩余定理（CRT）的应用部分搞不清楚，想请教各位：

在命题3.1.3的证明里有这么一段论断：

现在选取整数$w_1$，使得它满足两个条件：

1. 属于模$d_2/\gcd(d_1,d_2)$的指定剩余类；
2. 对任意不整除$d_1d_2$的素因子$p$（这里$p$是$q$的素因子），有$w_1 \not\equiv -m/d_1 \pmod p$。
   这样的整数$w_1$的存在性由中国剩余定理保证。

我想搞明白两个问题：一是为什么第二个条件$w_1 \not\equiv -m/d_1 \pmod p$能够成立，二是它和中国剩余定理的关联到底在哪里？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ali