嗨，很高兴能帮你理清这个疑问！

首先，当你遇到三角矩阵（不管上三角还是下三角）某一对角元素为0的情况时，其实结论很直接：这个三角矩阵的行列式就是0。为什么呢？

我们知道三角矩阵的行列式等于其所有对角元素的乘积——这是行列式的一个核心性质，不管是上三角还是下三角矩阵都适用。那如果其中一个对角元素是0，乘积自然就是0了，对应的矩阵也就是奇异矩阵（不可逆）。

回到你提到的二阶矩阵当$a=0$的情况，原矩阵是$\begin{bmatrix}0&b\c&d\end{bmatrix}$，如果要通过消元转成上三角矩阵，因为第一列第一个元素是0，这时候确实需要交换行：把第二行和第一行交换，得到$\begin{bmatrix}c&d\0&b\end{bmatrix}$。这时候要注意，交换矩阵的两行，行列式的符号会反转，但因为我们最终要算的是原矩阵的行列式，所以交换后的上三角矩阵行列式是$c \cdot b$，原矩阵的行列式就是$-cb$。不过你看，如果原矩阵本身就是三角矩阵的话（比如上三角矩阵的话，$c$必须是0），那矩阵会变成$\begin{bmatrix}0&b\0&d\end{bmatrix}$，对角元素有0，行列式直接是0，根本不用复杂消元啦。

再补充几个消元过程中常用的行列式性质，方便你后续推导：

• 消元时，把某一行的倍数加到另一行，行列式的值不变；
• 交换两行，行列式符号反转；
• 给某一行乘一个常数$k$，行列式变为原来的$k$倍。

所以如果原矩阵不是三角矩阵，但消元后得到的三角矩阵有对角元素0，那原矩阵的行列式也必然是0，因为这说明矩阵是奇异的，行向量线性相关。

另外，你提到的标题笔误完全没关系，现在问题清晰了就好～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Taowen