嘿，这个问题问得特别到位！刚接触仿射联络和挠率的时候，几乎都会被这个“全局定义”和“点处张量”的矛盾感困扰，我来给你慢慢拆解清楚～

首先先回顾你给出的挠率定义：
$$\begin{aligned}
T:\mathscr{X}(M)\times \mathscr{X}(M) &\rightarrow \mathscr{X}(M)\
(X,Y) &\mapsto T(X,Y):= \nabla_XY-\nabla_Y X-[X,Y]
\end{aligned} $$
你已经验证了它的多重线性，这是个很好的起点，但核心疑惑是：明明T是定义在全局光滑向量场上的，怎么就成了每个点对应一个(1,2)张量的张量场呢？

关键的突破点在这里：虽然挠率的表达式是用全局向量场写的，但T(X,Y)在任意点$p\in M$处的值，只依赖于X和Y在p点的切向量$X_p$和$Y_p$，和它们在p点以外的取值完全无关。这就意味着，我们可以合法地给每个点p定义一个点处的映射：
$$T_p: T_p(M) \times T_p(M) \rightarrow T_p(M)$$
只要取任意两个光滑向量场X,Y满足$X_p = v$、$Y_p = w$，那么$T_p(v,w)$就定义为$T(X,Y)_p$——因为不管你选哪个X,Y，只要它们在p点的切向量是v,w，得到的$T(X,Y)_p$都是一样的，这个定义是well-defined（良定义）的。

接下来我们来验证这个点处的$T_p$确实是一个(1,2)张量：

• 多重线性：因为T作为全局映射是$\mathbb{R}$-线性的，而且满足张量的“函数线性性”——对任意光滑函数$f\in C^\infty(M)$，有$T(fX,Y)=fT(X,Y)$、$T(X,fY)=fT(X,Y)$。把这个性质限制到点p上，就得到$T_p(f(p)v, w)=f(p)T_p(v,w)$，$T_p(v,f(p)w)=f(p)T_p(v,w)$，结合$\mathbb{R}$-线性，就说明$T_p$是$\mathbb{R}$-多重线性的，符合点处(1,2)张量的定义。

然后再看光滑性：当X,Y是光滑向量场时，$T(X,Y)$也是光滑向量场（因为联络作用在光滑向量场上给出光滑向量场，Lie括号的结果也是光滑向量场），这就意味着映射$p \mapsto T_p$是光滑的——也就是T是张量丛$T^{(1,2)}(M)$的光滑截面，这正是(1,2)张量场的定义。

你提到“不能谈论$\nabla_{X_p}Y_p-\nabla_{Y_p} X_p-[X_p,Y_p]$”，这完全正确：单个点的切向量没有Lie括号，仿射联络也只能作用在全局向量场上，不能直接作用在点处切向量上。但挠率的神奇之处就在于，把这三项组合起来之后，那些依赖于向量场局部行为的部分（比如联络作用中涉及的向量场导数）刚好抵消了，最终只剩下只和点处切向量有关的结果。

举个局部坐标系的例子更直观：假设取M上的局部坐标系${x^{i}$，联络系数是$\Gamma}k_{ij}$，向量场X,Y的局部表达式是$X=X^i\frac{\partial}{\partial x^i}$，$Y=Yj\frac{\partial}{\partial x^j}$，那么挠率的局部分量是：
$$T^k_{ij} = \Gamma^k_{ij} - \Gamma^k_{ji}$$
这个分量满足(1,2)张量的坐标变换规律，这也从侧面印证了T确实是(1,2)张量场。

总结一下：说“T是(1,2)张量场”，和说“T是$T^{(1,2)}(M)$的光滑截面”是完全等价的——前者是从“全局映射的张量性”角度描述，后者是从“点处张量的光滑赋值”角度定义，而我们通过证明T的点处值只依赖于点处切向量，把这两个定义给联系起来了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Zoudelong