关于非互斥且并集非样本空间的两事件，其并集概率与概率乘积的大小关系求证

嗨，我来帮你理清这个问题~其实你提到的这个结论是成立的，而且甚至不需要题目里“非互斥”和“并集非样本空间”这两个额外条件，咱们一步步来分析：

首先，你想到的公式P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)完全正确，不过其实不用这个公式也能推导结论：

• 对于任意事件A，A都是A∪B的子集，根据概率的单调性，必然有P(A) ≤ P(A ∪ B)；同理P(B) ≤ P(A ∪ B)，所以P(A ∪ B) ≥ max(P(A), P(B))。
• 而概率的取值范围是0 ≤ P(X) ≤ 1，对于两个在0到1之间的数x和y，它们的乘积x*y ≤ max(x, y)：比如假设P(A) ≥ P(B)，那么P(A)P(B) ≤ P(A)*1 = P(A) ≤ P(A ∪ B)；如果P(B) ≥ P(A)，推导过程也是一样的。

把这两步结合起来，就能得到P(A ∪ B) ≥ P(A)P(B)，不管A和B是否互斥，也不管它们的并集是不是样本空间Ω。

当然，用你提到的公式也能验证：因为P(A ∩ B) ≤ min(P(A), P(B))，所以P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ≥ P(A) + P(B) - min(P(A), P(B)) = max(P(A), P(B))，接下来就和上面的推导一致啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者johnsmith