我来帮你确认这个问题——你观察得很仔细，David Nelson的《企鹅数学词典》（第4版，2008）里给出的超几何微分方程形式确实和标准定义有差异，而且大概率是一处印刷错误。

先明确数学界广泛认可的标准超几何微分方程形式，也就是你查到的普遍版本：
$$x (1 - x) \dfrac {\mathrm d^2 \phi} {\mathrm d x^2} + [c - (a + b + 1) x] \dfrac {\mathrm d \phi} {\mathrm d x} - a b \phi = 0$$

这个方程的解是标准超几何函数 $_2F_1(a,b;c;x)$，函数的级数展开、递推关系等核心性质都是基于这个方程推导而来的。

再看词典里的版本，把$(a+b+1)$写成了$(a+b-1)$，这会直接改变方程的解的结构。如果使用这个“变体”方程，它的解不再是我们熟知的标准超几何函数，而是对应到另一种特殊函数（即便可能通过变量替换关联，但显然这不是词典条目要表达的内容）。

另外从推导逻辑来看，超几何方程是通过将超几何级数代入二阶线性微分方程得到的。你可以手动推导验证：把超几何级数$\sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n n!}x^n$求二阶导数后代入方程，整理系数的过程中必然会出现$(a+b+1)$这一项，完全不会出现减1的情况。

所以基本可以确定，词典里的这个写法是错误的，属于印刷笔误。你完全可以把它作为一处正式错误提交反馈。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Prime Mover