随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D={(x,y)\in\mathbb R^2:|x|+|y|\le1}$ 上服从均匀分布，令 $A=X-Y$，$B=X+Y$，问 $A$ 和 $B$ 是否独立？

你尝试用变量替换求联合分布、通过分布函数乘积判断独立性的思路完全正确，我帮你把后续步骤理清楚：

首先先明确原分布的细节：区域 $D$ 是一个对角线长为2的菱形，面积为2，所以 $(X,Y)$ 的联合密度函数是：
$$f_{X,Y}(x,y)=\begin{cases}
\frac{1}{2}, & (x,y)\in D \
0, & \text{其他}
\end{cases}$$

步骤1：修正变量替换的反变换（你之前的Y表达式写反了，不过不影响结果） #

由 $A=X-Y$，$B=X+Y$，正确的反变换是：
$$X=\frac{A+B}{2}, \quad Y=\frac{B-A}{2}$$
计算这个变换的雅可比行列式绝对值：
$$|J|=\left|\begin{vmatrix}
\frac{\partial X}{\partial A} & \frac{\partial X}{\partial B} \
\frac{\partial Y}{\partial A} & \frac{\partial Y}{\partial B}
\end{vmatrix}\right|=\left|\begin{vmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{vmatrix}\right|=\frac{1}{2}$$

步骤2：确定 $(A,B)$ 的取值范围 #

把 $X,Y$ 代入原区域条件 $|x|+|y|\le1$，化简后可得：
$$|\frac{A+B}{2}| + |\frac{B-A}{2}| \le1 \implies \max(|A|,|B|)\le1$$
也就是 $(A,B)$ 的取值范围是正方形区域 $[-1,1]\times[-1,1]$。

步骤3：求联合密度函数 #

根据变量替换的密度公式，联合密度为原密度乘以雅可比行列式绝对值：
$$f_{A,B}(a,b)=\begin{cases}
\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, & |a|\le1 \text{ 且 } |b|\le1 \
0, & \text{其他}
\end{cases}$$
你得到的 $C/2$ 其实就是这个结果，这里的 $C$ 就是原分布的密度 $\frac{1}{2}$。

步骤4：求边缘密度函数 #

对联合密度关于另一个变量积分即可得到边缘密度：

• 对于 $A$ 的边缘密度 $f_A(a)$：
  $$f_A(a)=\begin{cases}
  \int_{-1}^1 \frac{1}{4}db = \frac{1}{2}, & |a|\le1 \
  0, & |a|>1
  \end{cases}$$
• 对于 $B$ 的边缘密度 $f_B(b)$：
  $$f_B(b)=\begin{cases}
  \int_{-1}^1 \frac{1}{4}da = \frac{1}{2}, & |b|\le1 \
  0, & |b|>1
  \end{cases}$$

步骤5：判断独立性 #

现在验证联合密度是否等于边缘密度的乘积：

• 当 $|a|\le1$ 且 $|b|\le1$ 时，$f_A(a)f_B(b)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=f_{A,B}(a,b)$
• 当 $(a,b)$ 不在这个区域时，$f_A(a)f_B(b)=0=f_{A,B}(a,b)$

所以对所有实数 $a,b$，都有 $f_{A,B}(a,b)=f_A(a)f_B(b)$，因此 $A$ 和 $B$ 是独立的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tomer