我在测度/积分理论里碰到一个标准结论，怎么都推导不出来，实在头疼。

如果$f \colon X \to \mathbb{C}$是可测函数（$X$是任意可测空间），存在简单可测函数$\phi_k \colon X \to \mathbb{C}$满足逐点收敛到$f$，而且所有$|\phi_k| \le |f|$，这部分我理解没问题。

但问题是，很多资料里都说可以选这样的$\phi_k$，使得同时满足$|\phi_k| \le |\phi_{k+1}|$对所有$k$成立（比如Folland的《实分析》里的命题2.10）。我怎么都搞不定这一点，至少没法像资料里说的那样轻松推导出来。

通常的说法是这么构造的：把$f$分解成实部和虚部的正负部分，也就是$f = u + iv = u^+ - u^- + i(v^+ - v^-)$，其中$u = \Re f$，$v = \Im f$，$u^\pm$和$v\pm$是标准的正负部分解。然后选简单可测函数$s_k^\pm$和$t_k\pm$，满足$0 \le s_k^\pm \uparrow u^\pm$，$0 \le t_k^\pm \uparrow v^\pm$，接着定义：
$$\phi_k := s_k^+ - s_k^- + i(t_k^+ - t_k^-)$$

这些$\phi_k$是从$X$到$\mathbb{C}$的简单可测函数，而且显然逐点收敛到$f$，这部分都没问题。

但这里就有个疑问了：资料里说这样构造出来的$\phi_k$自然满足$|\phi_k| \le |\phi_{k+1}|$，可在这个构造里怎么推出来呢？大家好像默认$|\phi_k| = s_k^+ + s_k^- + t_k^+ + t_k^-$，这样的话单调性就很明显了，但我对这个等式存疑。

先假设$f$是实值函数（不过最后一定要解决复值的情况），那$v=0$，所以$t_k^\pm=0$，此时$\phi_k = s_k^+ - s_k^-$，是两个正函数的差。由此可得：
$$|\phi_k| = \phi_k^+ + \phi_k^- \le s_k^+ + s_k^-,$$
但很容易构造出正函数$s_k^\pm$使得上面的不等式是严格的，也就是$|\phi_k| < s_k^+ + s_k^-$。所以一般情况下$|\phi_k| = s_k^+ + s_k^-$是不成立的；我感觉很多人犯了个误区：从$\phi_k = s_k^+ - s_k^{-$就误以为$s_k}\pm$一定是$\phi_k$的正负部，但除非有什么技巧，否则这根本不对。到底是什么技巧呢？

举个正部分解里严格不等式的例子：在实数轴上取$u := 1_{(-\infty, 1]}$，$v := 1_{[-1, \infty)}$，令$f := u - v$。那么一般来说$f^+ \le u$，$f^- \le v$，这里显然满足$|f| = f^+ + f^- < u + v$。

我知道自己可以一步步细致推导来挽救这个命题，但资料里都说这个结论是从正可测函数的逼近轻松推出来的，所以我肯定是漏掉了某个关键技巧，有没有人能点拨一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Qeeko