最近我卡在一个问题上，最后需要搞清楚任意范数下单位球 $B = \left{ x \in \mathbb{R}^n : \lVert x \rVert \leq 1 \right}$（这里 $\lVert \cdot \rVert$ 是任意范数）在边界点 $\partial B$ 处的法锥是什么。

先回忆一下，$\mathbb{R}^n$ 中闭凸集 $C$ 在点 $x$ 处的法锥定义是：
$$N_C(x) = \left{ y \in \mathbb{R}^n : \langle y,z-x \rangle \leq 0 \ \forall z \in C \right}.$$

我已经算出了 $n=1$ 的情况，这时候可以把 $B$ 看作 $[-1,1]$，如果没算错的话，结果是：
$$N_B(x) = \begin{cases}
[0,+\infty), & \ \text{if} \ x=1, \
(-\infty,0], & \ \text{if} \ x=-1.\end{cases}$$

直觉上我觉得边界点处的法锥应该总是一个半空间，但不知道怎么在更一般的情形下验证这个结论，我的直觉对吗？如果不对的话，正确的结果是什么？任何帮助、提示或者参考资料都很感激。

补充说明：其实当范数在该点可微的时候，我已经能看出法锥是一条直线了（比如用Rockafellar《Convex Analysis》里的定理23.7），所以问题其实出在范数不可微的点上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Raul Fernandes Horta